Untersuchen die rekursiv definierten Folgen auf Konvergenz. Bestimmen Sie ggf. den Grenzwert.

Question

Untersuchen die folgenden rekursiv definierten Folgen \( \left( a _ { n } \right) _ { n = 1 } ^ { \infty } \) auf Konvergenz.

Bestimmen Sie ggf. den Grenzwert.

a) $$ a _ { 1 } : = \frac { 1 } { 2 } , a _ { n + 1 } : = a _ { n } - a _ { n } ^ { 2 } \text { für alle } n \in \mathbb { N } $$

b) $$ a _ { 1 } : = 2 , a _ { n + 1 } : = \frac { a _ { n } ^ { 2 } + 1 } { 2 a _ { n } } \text { für alle } n \in \mathbb { N } $$

Answer 1

a1 = 1/2

an+1 = an - an^2

a2 = 1/4

a3 = 3/16

a4 = 39/256

Vermutung: Streng monoton fallend mit Grenzwert 0

an+1 < an

an - an^2 < an

- an^2 < 0 --> Streng monoton fallend

an - an^2 > 0 

an^2 - an < 0

an*(an - 1) < 0 --> für an < 1 erfüllt --> an immer großer 0

Wenn es einen Grenzwert gibt gilt

an+1 = an

an - an^2 = an

an = 0 --> Grenzwert ist 0.

Answer 2

$$ { a }_{ n+1 }={ a }_{ n }-({ a }_{ n })^2=1/4-({ a }_{ n }-1/2)^2,{ a }_{ 1 }=1/2\\Vermutung: 0<={ a }_{ n }<=1/2\\Induktionsnanfang: n=1 stimmt\\Induktionsschritt:{ a }_{ n+1 }=1/4-({ a }_{ n }-1/2)^2<=1/4<=1/2\\{ a }_{ n+1 }=1/4-({ a }_{ n }-1/2)^2>=0\\Vermutung: \text{Die Folge verläuft monoton fallend. Umformen liefert}\\{ a }_{ n+1 }-{ a }_{ n }=-({ a }_{ n })^2<=0\\\text{Die Folge konvergiert }\\\lim_{n\to\infty}{ a }_{ n+1 }=\lim_{n\to\infty}{ a }_{ n }\\\lim_{n\to\infty}{ a }_{ n }-({ a }_{ n })^2=\lim_{n\to\infty}{ a }_{ n }\\\lim_{n\to\infty}-({ a }_{ n })^2=0\\\lim_{n\to\infty}{ a }_{ n }=0 $$