Aufgabe:
(a) Zeigen Sie elementar (also direkt anhand der Grenzwertdefinition, ohne Rechenregeln für Grenzwerte!), dass die Folge \( \left(a_{n}\right) \) mit
\( a_{n}:=\frac{n !}{n^{n}} \)
konvergiert. Ab welchem Index \( n_{0} \) sind die Folgenglieder kleiner als \( \varepsilon:=10^{-3} \) ?
(b) Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert (Rechenregeln für Grenzwerte dürfen benutzt werden):
\( \begin{array}{cc} b_{n}:=\frac{2 n^{2}+n+3 \sin (n)}{4 n^{2}-5 n}, & c_{n}:=\cos \left(\frac{2 n \pi}{5}\right) \\ d_{n}:=\frac{1}{n^{2}} \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k}, & e_{n}:=\left(\frac{3}{4}+\frac{2}{3} i\right)^{n} \end{array} \)
(c) Gegeben sei die rekursiv definierte Folge
\( x_{0}:=1, \quad x_{n+1}:=\frac{x_{n}}{x_{n}+3}, \quad n \in \mathbb{N} \)
Zeigen Sie folgende Aussagen:
i. Die Folgenglieder sind alle positiv.
ii. Die Folge ist monoton fallend. Folgern Sie hieraus, dass die Folge konvergiert, und berechnen Sie den Grenzwert.
Bei aufgabe a) komme ich nicht weiter als zu zeigen das die Folge konvergiert.
Als Ansatz nehme ich dann ε:=10-3 bilde n!/nn<ε.
Aber beim Umformen komme ich nicht weiter als n!/ε<nn.
