Folgen auf Konvergenz untersuchen und ggf. Grenzwert bestimmen | Aufgabe

Question

Hey! Momentan kommt viel Neues auf mich zu und dies hier ist eines von vielen Dingen die ich noch lernen muss. Leider stehen mir keine Beispiele zu Rechnungen oder dergleichen zur Verfügung und aus diesem Grund wende ich mich hier an euch. Ich würde es wirklich nett finden, wenn man mir erklären könnte wie das Ganze funktioniert das so etwas noch nie gerechnet habe :( Danke.

Answer 1

i) Es gilt \( \sqrt[n]{n^3} \) =(\( \sqrt[n]{n} \))³ --> 1 ,

da \( \sqrt[n]{n} \) → 1 (Hierfür gibt es schon viele Einträge im Internet, ist eine sehr bekannte Folge)

Das müsste der Grenzwert sein. Die Aufgabe verlangt hier aber, das man erst die Konvergenz zeigen soll ohne explizit auf den Grenzwert zuzugreifen. Deswegen überlegt man sich: a_n konvergiert genau dann wenn \( \sqrt[n]{n} \) konvergiert. Du kannst dir ja mal als Übung überlegen, weshalb das gilt.

ii) Schreib die Folge mal um:

b_n = 1/2 * 2/3 *3/4*...* (n-1)/n = (n-1)! / n! = 1/n → 0 (Das kannst du schnell mit einem Epsilon-Beweis zeigen)

iii) hier würde ich erstmal im Nenner und Zähler ein e^nx ausklammern. Dann bekommt man: c_n  = (1+ 1/e^nx )^-1

(Hier am besten noch argumentieren, dass der Term in der Klammer immer ungleich 0 ist)

Für x=0 ergibt sich c_n = 1/2 → 1/2

Für x<0 : e^nx --> 0, also strebt 1+1/e^nx  --> unendlich und das Reziproke strebt also gegen 0.

Für x>0 : e^nx --> unendlich, also 1/e^nx  --> 0 und 1+ 1/e^nx --> 1 und das Reziproke strebt somit gegen 1.

Um die Konvergenz bei der iii) nachzuweisen würde ich mal für die oberen 3 x-Werte versuchen das mit dem Sandwich-Theorem abzuschätzen.

Ich hoffe ich konnte dir ein bisschen weiterhelfen.