Rekursiv definierte Folgen auf Konvergenz und Grenzwert untersuchen

Question

Könnte mir hierbei jemand helfen und es erklären ?

(a)  a1 := 1/2   , an+1 := an − (a_n)^2  für alle n ∈ N

(b) a1 := 2 , an+1 := (a_n)^2 +1 /  2a_n       für alle n ∈ N 

Comments

Aufgabe a ):

https://www.mathelounge.de/394240/untersuchen-die-folgenden-rekursiv-definiert-folgen

Answer 1

a1 = 2

an+1 = ((an)^2 + 1) / (2 * an)

a2 = 1.25

a3 = 1.025

Vermutung streng monoton fallend mit Grenzwert 1

an+1 < an

((an)^2 + 1) / (2 * an) < an

(an)^2 + 1 < an * (2 * an)

(an)^2 + 1 < 2 * (an)^2

- (an)^2 < - 1

(an)^2 > 1

Für an > 1 erfüllt.

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((an)^2 + 1) / (2 * an) > 1

(an)^2 + 1 > 2 * an

(an)^2 - 2 * an + 1 > 0

(an - 1)^2 > 0

Für an > 1 erfüllt.

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Grenzwert

an+1 = an

Wird wie obige ungleichung gelöst.