Konvergenz von Folgen untersuchen und ggf Grenzwert bestimmen

Question

Ich habe folgende Folgen gegeben:

1) \(   a_n=(\frac{5}{n})^n \)

2) \(   a_n=\frac{1}{n}+2^\frac{1}{n} \)

3) \(   a_n=\frac{2n}{3n^2+1} \)

4) \(   a_n=\frac{n^3+n^2+1}{n^2+2} \)

Zu 1)

Hier beträgt der Grenzwert (für n gegen unendlich) 0. Ich habe dann die Definition der Konvergenz genutzt, also, dass man zu jedem epsilon >0 ein  N   element IN  (das IN soll die Natürlichen Zahlen darstellen) finden soll, sodass für alle \(   n \ge N \) gilt: \( |a_n-a|<\epsilon \), also hier: \( |a_n-0|<\epsilon \), woraus folgt: \( |(\frac{5}{n})^n-0| =(\frac{5}{n})^n\).

Also folgt: \( (\frac{5}{n})^n<\epsilon \to n >0 \)

Sei also \(\epsilon>0\) beliebig. Nach dem archimedischen Axiom gibt es ein N element IN mit N>0. Sei  \(   n \ge N \) beliebig. Dann ist:\( |(\frac{5}{n})^n-0| =(\frac{5}{n})^n<\epsilon\)

Stimmt das so überhaupt?Bezüglich der anderen Aufgaben, die Grenzwerte kann ich bestimmten. Bei 2) ist er 1, bei 3) ist er 0, bei 4) + unendlich, nur weiß ich dort nicht wie ich die Konvergenz zeigen soll.

Eine Idee bezüglich der Konvergenz von 2) wäre: $$ \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n}+2^\frac{1}{n})= \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n})+\lim_{n\to\infty}(2^\frac{1}{n})=0+1=1 $$

Answer 1

lim (n → ∞) (a/n)^n

= lim (n → ∞) EXP(LN( (a/n)^n ))

Wir betrachten zunächst nur den Exponenten

lim (n → ∞) LN( (a/n)^n )

lim (n → ∞) n·LN(a/n) = -∞

Nun betrachten wir wieder den kompletten Term

lim (n → ∞) EXP(LN( (a/n)^n )) = EXP(-∞) = 0

Comments

2) hätte ich genau so gelöst.

3) kürze den Bruch mit n

4) kürze den Bruch mit n^2

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Habs für 3 und 4 nochmal gemacht:

Bekomme bei 3 dann

lim (n->∞) 2n/(3n^2+1)=0

und bei 4:

lim (n->∞) (n^3+n^2+1)/(n^2+2)=∞

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Die Ergebnisse bei 3) und 4) sehen gut aus.