Komplemente zu U eines V=R^4

Question

Aufgabe:

Sei V=ℝ^4, U der von (1,0,-1,0) und (1,2,3,4) erzeugte Vektorraum.

Geben Sie zwei verschiedene Komplemente zu U an.

Problem/Ansatz: leider habe ich nicht einen Ansatz und wäre dessen seh dankbar.

Answer 1

Du kannst zwei Vektoren finden, die zu den angegebenen Vektoren

senkrecht stehen, z.B. (1,-2,1,0) und (0,-2,0,1).

Diese Vektoren stehen auf allen Vektoren von U senkrecht und sind

von einander linear unabhängig. Damit spannen sie einen

Komplementärraum von U auf. Wenn man einen dieser Vektoren

um einen der gegebenen Vektoren "abfälscht", also z.B.

den Unterraum betrachtet, der von (1,-2,1,0)+(1,0,-1,0), (0,-2,0,1),

also von (2,-2,0,0), (0,-2,0,1) aufgespannt wird, hat man einen

anderen Komplementärraum. Das solltest du in aller Ruhe

durchdenken ;-)

Comments

Handelt es sich dann um einen orthogonalen Komplementärraum?

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Die erste Variante ist ein orthogonales Komplement,

die zweite ist zwar ein Komplement, aber kein orthogonales.

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Aber wie genau komme ich auf die Vektoren, die senkrecht darauf stehen?