Question

Zeige, das für f aus C^unendlich(IR) gilt:

(f(x-h)-2*f(x)+f(x+h))/h^2 - f"(x) = O(h^2) für h nach 0

Hinweis: Betrachte die Taylorentwicklung von f(x-h) und f(x+h) um den Punkt x.

Mit f"(x) ist die zweite Ableitung von f gemeint.

Comments

f um x entwickeln:

f(y) = f(x) + f'(x) (y-x) + f''(x)/2 (y-x)² + ...

x±h einsetzen:

f(x±h) = f(x) ± f'(x) h + f''(x)/2 h² ± f'''(x)/6 h³ + ...

Also ist

\( f(x+h)+f(x-h) - 2f(x) = f''(x) h² + f^{(4)}(x) h^4 + ... \)

Wenn du jetzt durch h² teilst und f''(x) abziehst bleibt

\( f^{(4)}(x) h^2 + f^{(6)}(x) h^4 + ... \)

Übrig. Und du siehst man kann ein h² ausklammern.

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Also am Ende bleibt da nur noch die 4. Ableitung von f(x) stehen, nachdem ich h gegen 0 gemacht habe, oder? Somit wäre hier bewiesen, dass die Funktion dann beschränkt wäre, weil sie einen Grenzwert hat, was daraus zu der obigen Aussage von O folgen würde, oder?

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Du bildest jetzt den Bruch aus dem Ergebnis oben geteilt durch h²

Dann bestimmst du den lim sup h–>0 des Betrags dieses Bruchs.

Aber wie du schon richtig gesagt hast ist aufgrund der vorliegenden Konvergenz gegen | f^4(x) |<∞ dieser limsup gleich dem Limes und somit auch <∞

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Alles klar, vielen Dank.

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Kannst du mir vielleicht auch bitte da helfen?

Es gilt: 1/cos(h) - 1 = O(h^p) , bestimme das maximale p für h nach 0 , damit die Aussage gilt.

Ich habe erstmal die linke Seite so umgeformt (1-cos(h))/cos(h) und das dann durch h^p gemacht , worauf dann kommt: (1-cos(h))/(cos(h)*h^p), wie kann ich weitermachen? Z.B. L'Hospital verwenden?