Aufgabe:
Gegeben sei die Funktion f(t) = −A*e-α| t |*sign(t) mit sign(t) = {1 für t > 0;
{0 für t = 0;
{−1 für t < 0
und reellen A > 0, α > 0
Man muss die Fourier-Transformierte F(ω) finden.
Problem/Ansatz:
Also, geht das mit Formel \( \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t)*e^{-iωt}dt \) .
Dann habe ich folgendes \( \int\limits_{-\infty}^{0} −A*e^{−α| t |} *(−1)*e^{-iωt}dt \) + \( \int\limits_{0}^{\infty}−A*e^{α| t |}*e^{-iωt}dt \) . Weiter löse ich die uneigentliche Integralen. Und dann bekomme ich \( \lim\limits_{a\to-\infty}(−\frac{A}{α(1+iω)} + \frac{A*e^{-α(1 + iω)*a}}{α(1 + iω)}) \) + \( \lim\limits_{b\to\infty}(\frac{A*e^{-α(1 + iω)*b}}{α(1 + iω)} - \frac{A}{α(1 + iω)}) \) . Aber irgendwie komme ich nicht weiter. Habe ich etwas falsch gemacht?
