Hallo ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe :
Zeigen Sie, dass die Fourier - Transformierte der Funktion
e-ax * sin(bx) für x ≥ 0
f(x) = 0 sonst
mit a > 0 gegeben ist durch
~f ( k) = \( \frac{b}{a²+b²-k²+2iak} \)
Hinweis : Schreiben Sie sin(bx) mit Hilfe der Euler-Formel in komplexe Exponentialterme um.
Problem/Ansatz:
Bei uns lautet die Fourier Transformierte :
~f (k) = \( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \) f(x) * e-i k x dx.
Da fing schon das erste Problem an weil ich nicht wusste wie wir es machen sollen für Abschnittsweise definierte Funktionen.
Mein Ansatz war nun ich mache es erstmal mit f(x) = e-ax *sin(bx)
~f(k) = \( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \) f(x) * e-i k x dx = \( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \) e-ax *sin(bx) * e-i k x dx
= ( \( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \) e-ax *(e i b x - e - i b x) * e-i k x dx) \( \frac{1}{2i} \)
= ( \( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \) (e -a x + i b x - i k x - e -a x - i b x - i k x )dx) \( \frac{1}{2i} \)
= ( \( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \) e -a x + i b x - i k x dx - \( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \) e -a x - i b x - i k x dx ) \( \frac{1}{2i} \)
Doch nun weiß ich nicht mehr weiter.
Könnte da bitte jemand drüber gucken und sagen wie es weiter geht ?
Liebe Grüße
Hans
