Welche Fourier-transformierte f(k) hat die Funktion f(x)=....

Question

Aufgabe:

$$\text{Welche Fourier-transformierte f(k)hat die Funktion f(x)}=e^{-\alpha|x|}\text{ mit  }\alpha\text{ reell}$$

Ansatz:

$$\text{f(x)}=e^{-\alpha|x|} \text{ ist gerade } \Rightarrow \text{ f(k)}=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha|x|}*e^{-ikx}dx$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha|x|}*cos(kx)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha|x|} \sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}k^{2n}}{(2n)!}x^{2n}$$

$$=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}k^{2n}}{(2n)!} \partial_{\alpha}^{2n}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha|x|} =\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}k^{2n}}{(2n)!} \partial_{\alpha}^{2n} \frac{2}{\alpha}$$

$$=1+\frac{2}{\alpha}+\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}k^{2n}}{(2n)!} 2(2n-2)!\alpha^{-2n+1}=1+\frac{2}{\alpha}+\frac{1}{\alpha}\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{-k^{2n}}{\alpha^{2n}}\frac{1}{2n^{2}-n}$$

Problem:

Ich komme ab hier nicht mehr weiter.

Answer 1

Hey James.T.Nemo,

eine super Aufgabe, um Fourier Transformationen zu üben! ich persönlich würde nur bei \(f(t)=\mathrm{e}^{-\alpha|t|}\) nicht über die Symmetrie Eigenschaft gehen, sondern die Transformation direkt angehen:

$$\mathcal{F}(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty\! \mathrm{e}^{-\alpha|t|}\cdot\mathrm{e}^{-\mathrm{i}xt}\,\mathrm{d}t = \int\limits_{-\infty}^0\!\mathrm{e}^{\alpha t}\cdot\mathrm{e}^{-\mathrm{i}xt}\,\mathrm{d}t + \int\limits_{0}^\infty\!\mathrm{e}^{-\alpha t}\cdot\mathrm{e}^{-\mathrm{i}xt}\,\mathrm{d}t$$

$$=\int\limits_{-\infty}^0\!\mathrm{e}^{(\alpha-\mathrm{i}x)t}\,\mathrm{d}t + \int\limits_{0}^\infty\!\mathrm{e}^{(-\alpha-\mathrm{i}x)t}\,\mathrm{d}t=\dots$$

Wenn du jetzt die Stammfunktionen bestimmst (Regel für lineares Integrieren) und die Grenzen einsetzt, bleibt über:

$$\dots=\dfrac{1}{\alpha-\mathrm{i}x}+\dfrac{1}{\alpha+\mathrm{i}x} = \dfrac{2\alpha}{\alpha^2+x^2}$$

Viel Spaß!
MathePeter