Schattenpunkte eines Dreiecks

Question

Aufgabe:

Die Punkte A(2 / 5 / 4), B(6 / 3 / 2) und C(4 / 0 / 3) bilden ein Dreieck. Beim Punkt L(-2 / -1 / 10)
befindet sich eine Lichtquelle.
Berechne die Schattenpunkte des Dreiecks auf dem Boden (x1-x2-Ebene) und
zeichne das Dreieck, die Lichtquelle und den Schatten.

Problem/Ansatz:

Wie kriege ich es hin, die Schattenpunkte bei einem Dreieck zu berechnen?

Gibt es da irgendeine Formel?

Vielen Dank im voraus!

Answer 1

Wie kriege ich es hin, die Schattenpunkte bei einem Dreieck zu berechnen?

Z.B. für den Schattenpunkt von A gilt

[-2, -1, 10] + r·([2, 5, 4] - [-2, -1, 10]) = [x, y, 0]

Skizze

https://www.matheretter.de/rechner/schragbild?draw=dreieck(2%7C5%7C4%206%7C3%7C2%204%7C0%7C3)%0Astrecke(-2%7C-1%7C10%204.667%7C9%7C0)%0Astrecke(-2%7C-1%7C10%208%7C4%7C0)%0Astrecke(-2%7C-1%7C10%206.571%7C0.426%7C0)%0Adreieck(4.667%7C9%7C0%208%7C4%7C0%206.571%7C0.426%7C0)&scale=15&pa=45&xy=1

Comments

Hier mal meine Ergebnisse zum Vergleich.

A' = [-2, -1, 10] + r·([2, 5, 4] - [-2, -1, 10]) = [x, y, 0] → r = 5/3
A' = [-2, -1, 10] + 5/3·([2, 5, 4] - [-2, -1, 10]) = [14/3, 9, 0]

B' = [-2, -1, 10] + r·([6, 3, 2] - [-2, -1, 10]) = [x, y, 0] → r = 5/4
B' = [-2, -1, 10] + 5/4·([6, 3, 2] - [-2, -1, 10]) = [8, 4, 0]

C' = [-2, -1, 10] + r·([4, 0, 3] - [-2, -1, 10]) = [x, y, 0] → 10/7
C' = [-2, -1, 10] + 10/7·([4, 0, 3] - [-2, -1, 10]) = [46/7, 3/7, 0]

Answer 2

Stelle die Gleichungen der Geraden LA, LB und LC auf.

Berechne für jede dieser drei Geraden den Punkt, in dem die x3-Koordinate 0 ist.

Answer 3

Willkommen in der Mathelounge,

um den Schattenpunkt von A zu bestimmen, erstellst du die Gleichung einer Gerade durch L und A und berechnest ihren Schnittpunkt mit der Ebene.

\(g:\;\vec{x}=\begin{pmatrix} -2\\-1\\10 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 4\\6\\-6 \end{pmatrix}\)

z = 0, daher ergibt die 3. Zeile der Geradengleichung

10 - 6r = 0

-6r = -10

r = \( \frac{5}{3} \)

Setze dieses Ergebnis für r in die Geradengleichung ein und du erhältst die Koordinaten des Schattenpunktes

A'(\( \frac{14}{3} \) |9|0)

So machst du es auch mit den anderen beiden Punkten.

 

Gruß, Silvia

Comments

Der Punkt A ist A(2 | 5 | 4) oder?

---

Das ist wohl wahr. Danke, ich werde es korrigieren.

---

Ich habe (1Ι0,2Ι-2,5) bei L+r•A heraus. Ist das richtig?

LG

---

Ich habe (1Ι0,2Ι-2,5) bei L+r•A heraus. Ist das richtig?

Tut mir leid, das ist nicht richtig.

Das ist auch nicht mal ein Punkt mit der z-Koordinate 0

Die Geradengleichung sollte auch

X = L + r * LA

lauten.

---

Ich verstehe nicht ganz.

---

Was verstehst du denn konkret nicht?

---

LA. Also wie ich LA darstelle.

---

Richtungsvektor LA ist Ortsvektor A minus Ortsvektor L. Das habe ich so auch in meiner Lösung gerechnet. Ich habe das dort nicht vereinfach, damit du es besser sehen kannst.

---

Warum ist z=0 und wie kommst du auf A-Strich =6,6/9/0

---

Warum ist z=0

Der Schatten ist in der xy-Ebene sichtbar, und alle Punkte in der xy-Ebene (ihr nennt sie möglicherweise auch x1-x2-Ebene) haben nun mal die z-Koordinate 0.

---

Die Schattenpunkte entstehen in der x1-x2-Ebene. Das besondere an dieser Ebene ist, dass z = 0 ist.

Ich komme auf

A' = [-2, -1, 10] + 5/3·([2, 5, 4] - [-2, -1, 10]) = [14/3, 9, 0] = [4.667, 9, 0]

---

wie kommst du auf A-Strich =6,6/9/0

Indem für 5/3 für r in die Geradengleichung eingesetzt wird.

---

Und was ist in dem Fall die Geradengleichung?

---

Die Geradengleichung durch L und A lautet z.B.

X = [-2, -1, 10] + r·([2, 5, 4] - [-2, -1, 10])

X = [-2, -1, 10] + r·[4, 6, -6]

---

Ich verstehe nicht ganz, wie ich dies ausrechne.

Ich habe -2+5/3 × 4 gerechnet. Da kommt aber nicht 20/3 raus.

---

Ich schrieb oben

Ich komme auf

A' = [-2, -1, 10] + 5/3·([2, 5, 4] - [-2, -1, 10]) = [14/3, 9, 0] = [4.667, 9, 0]

Das ist auch das, was du näherungsweise den beiden Skizzen entnehmen kannst.

---

Könnten ise mir den kompletten Matheweg fur B zeigen? ich bin mir etwas unsicher, da ich als Punkte 0,4,0 herausgefunden habe.

---

Das ist sowas von falsch.

Addiere zum Ortsvektor von L das 1,25-fache des Vektors LB.

---

\( \overrightarrow{L B}=\left(\begin{array}{l}6+2 \\ 3+1 \\ 2-10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8 \\ 4 \\ -8\end{array}\right) \)

\( g:\; \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 10\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}8 \\ 4 \\ -8\end{array}\right) \)

\( 10-8 r=0 \)
\( -8 r=-10 \)
\( r=\frac{5}{4} \)

\(B'= \left(\begin{array}{c}-2+\frac{5}{4} \cdot 8 \\[5pt] -1+\frac{5}{4} \cdot 4 \\[5pt] 10-\frac{5}{4} \cdot(-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8 \\ 4 \\ 0\end{array}\right) \)

---

Sind die Punkte nicht (-2 / -1 / 10), wird es plus, da minus und minus plus ergibt?

---

Sind die Punkte nicht (-2 / -1 / 10), wird es plus, da minus und minus plus ergibt?

In diesem Satz steckt viel Unfug.

Sind die Punkte nicht (-2 / -1 / 10),

Nein, DIE PUNKTE sind nicht (-2 / -1 / 10), weil (-2 / -1 / 10) nur ein einzelner Punkt ist.

Dieser Punkt wird auch verwendet. Er ist der Punkt, von dem das Licht ausgeht.

da minus und minus plus ergibt?

Minus UND minus ergibt gar nichts, weil "und" keine Rechenoperation ist.

Minus MAL minus ergibt plus.

Minus GETEILT DURCH minus ergebt auch plus.

Das Ergebnis von "(minus) PLUS (minus)" ist negativ, und bei "(minus) MINUS (minus)" kann es positiv oder negativ sein.

Du müsstest schon mal konkret sagen, bei welcher konkrten Aufgabe du welches konkrete Ergebnis erwartest, was von unseren Ergebnissen abweicht.