Sind meine Schattenpunkte richtig berechnet?

Question

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Ein quaderförmiges Kunstobjekt wird tagsüber von der Sonne angestrahlt und nachts von einem Scheinwerfer beleuchtet. Wie zeichnet und berechnet man jeweils den Schatten?
a) Der Quader hat êthe Grundfläche von \( 4 \mathrm{~m} \times 4 \mathrm{~m} \) und eine Höhe von \( 3 \mathrm{~m} \). Eine Ecke liegt im Koordinatenursprung. Bestimmen Sie zunächst die Koordinaten der übrigen Eckpunke des Quaders.
Die parallelen Sonnenstrahlen treffen mit der Richtung \( \vec{v}=\left(\begin{array}{r}2 \\ 3 \\ -2\end{array}\right) \) auf den Quader.
b) Nachts befindet sich die Lichtquelle \( L \) an der Position \( L(2|-2| 6) \). In diesem Fall hat jeder Lichtstrahl einen anderen Richtungsvektor. Beispielsweise liegt der Schattenpunkt \( G \) auf der Geraden LG mit
\( \overrightarrow{O X}=\left(\begin{array}{r} 2 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{r} 4-2 \\ 0+2 \\ 3-6 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 2 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ -3 \end{array}\right) \)

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1.a) \( g: \vec{x}=\overrightarrow{O A}+r \cdot \overrightarrow{A B} \quad E: \vec{x}=\vec{p}+s \cdot \vec{r}+t \cdot \vec{v} \) \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 3\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ -2\end{array}\right) \quad E: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \) \( \left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 3\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \\ -2\end{array}\right) \) \( I(0+1 s+0 t=4+2 r \mid-2 r \quad \mathbb{1} \quad 0+0 s+1 t=0+3 r \quad 1-3 r \) \( -2 r+1 s+0 t=4 \)
III \( 0+\theta s+0 t=3-2 r \mid+2 r \quad \) werte in LGs: \( +2 r+0 s+0 t=3 \quad r=1, s=7 \quad t \cdot 6,5 \) \( f: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}4 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)+1, s \cdot\left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \\ -2\end{array}\right) \quad s=\left(\begin{array}{c}7 \\ 6,5 \\ 0\end{array}\right) \) \( e \cdot \vec{x}=\overrightarrow{0 A}+3 \cdot \) \( e: \vec{x}=\vec{A}+r \cdot \overrightarrow{A B} \quad \quad E: \vec{x}=\vec{p}+s \cdot \vec{v}+t \cdot \vec{u} \)

Aufgabe:

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\( e: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 4 \\ 3\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \\ -2\end{array}\right) \quad E: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}\rho \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)+E \cdot\left(\begin{array}{l}\rho \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \)
\( \left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 4 \\ 3\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ -2\end{array}\right) \)
I \( 0+1 s+0 t=0+2 r 1-2 r \quad \) II \( \theta+0 s+1 t=4+3 r \quad 1-3 r \)
\( -2 r+1 s+0 t=0 \)
\( -3 r+0+0 s+1 t=4 \)
II \( \quad 0+0 s+0 t=3-2 r \mid+2 r \)
\( 2 r+0 s+0 t=3 \)
\( r=1,5 \quad s=3 \quad t=8,5 \)
\( e: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 4 \\ 3\end{array}\right)+1,5 \cdot\left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \\ -2\end{array}\right) \quad s=\left(\begin{array}{l}3 \\ 8,3 \\ 0\end{array}\right) \)

Aufgabenstellung siehe oben

Problem/Ansatz:

Sind meine Lösungen zu dieser Aufgabe richtig?

Answer 1

Hallo,

G' und E' sind richtig.

Du hast bei F die Koordinaten (4|2|3) eingesetzt, richtig wäre (4|4|3)

Ich verstehe nicht, warum du die Ebenengleichungen aufstellst. Ich habe für G' beispielsweise so gerechnet:

Gerade durch G mit v

\(g:\;\vec{x}=\begin{pmatrix} 4\\0\\3 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 2\\3\\-2 \end{pmatrix}\)

Gesucht ist ein Punkt auf der Gerade mit der z-Koordinate null. Aus der dritten Zeile ergibt sich

\(3-2r=0\\r=1,5\)

Damit ist der Schattenpunkt

\(\begin{pmatrix} 4\\0\\3 \end{pmatrix}+1,5\cdot\begin{pmatrix} 2\\3\\-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7\\4,5\\0 \end{pmatrix}\)

Gruß, Silvia

Answer 2

Du machst das sehr kompliziert. Eigentlich suchst du nur einen Spurpunkt der Geraden und zwar den Schnittpunkt mit der z = 0 Ebene. Damit braucht eigentlich immer nur die z-Koordinate null werden.

a)

E = [0, 4, 3] ; F = [4, 4, 3] ; G = [4, 0, 3] ; H = [0, 0, 3]

E' = [0, 4, 3] + 1.5·[2, 3, -2] = [3, 8.5, 0]
F' = [4, 4, 3] + 1.5·[2, 3, -2] = [7, 8.5, 0]
G' = [4, 0, 3] + 1.5·[2, 3, -2] = [7, 4.5, 0]
H' = [0, 0, 3] + 1.5·[2, 3, -2] = [3, 4.5, 0]

b)

E'' = [0, 4, 3] + 1·([0, 4, 3] - [2, -2, 6]) = [-2, 10, 0]
F'' = [4, 4, 3] + 1·([4, 4, 3] - [2, -2, 6]) = [6, 10, 0]
G'' = [4, 0, 3] + 1·([4, 0, 3] - [2, -2, 6]) = [6, 2, 0]
H'' = [0, 0, 3] + 1·([0, 0, 3] - [2, -2, 6]) = [-2, 2, 0]