Beweis der Integration durch Substitution erklären

Question

Aufgabe: Erklären Sie den Beweis den Integration durch Substitution.

Problem/Ansatz: Ich verstehe den Beweis für die Integration durch Substitution nicht. Wie kann man den Beweis erklären und wie funkioniert er?

Answer 1

Es sei $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ integrierbar über dem Interval $[a, b]$ und $\varphi: \mathbb{R} \rightarrow[a, b]$ irgendeine differenzierbare Funktion.
$\int \limits_{a}^{b} f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\int \limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x) \mathrm{d} x$
Beweis: Sei $F(x)$ eine Stammfunktion von  $f(x)$, i.e. $F^{\prime}(x)=f(x)$. Mit der Kettenregel ergibt sich
$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} F(\varphi(x))=f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x)\end{aligned}$
Das bedeutet für widerum
$\int \limits_{a}^{b} f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) \mathrm{d} x=F(\varphi(b))-F(\varphi(a))=\int \limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x) \mathrm{d} x$