Beweis der Integration durch Substitution erklären

Question

Aufgabe: Erklären Sie den Beweis den Integration durch Substitution.

Problem/Ansatz: Ich verstehe den Beweis für die Integration durch Substitution nicht. Wie kann man den Beweis erklären und wie funkioniert er?

Answer 1

Es sei \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) integrierbar über dem Interval \( [a, b] \) und \( \varphi: \mathbb{R} \rightarrow[a, b] \) irgendeine differenzierbare Funktion.
\( \int \limits_{a}^{b} f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\int \limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x) \mathrm{d} x \)
Beweis: Sei \( F(x) \) eine Stammfunktion von  \( f(x) \), i.e. \( F^{\prime}(x)=f(x) \). Mit der Kettenregel ergibt sich
\(\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} F(\varphi(x))=f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x)\end{aligned} \)
Das bedeutet für widerum
\( \int \limits_{a}^{b} f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) \mathrm{d} x=F(\varphi(b))-F(\varphi(a))=\int \limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x) \mathrm{d} x \)