Primzahlen Einführung

Question

Hey Leute,

ich verstehe eine Aufgabe nicht so ganz bzw ich weiß nicht wie ich die Aussage beweisen kann.

Die Aussage lautet : Wenn n >1 keine Primzahl ist, dann gibt es eine natürliche Zahl k mit 2 ≤ k ≤ \( \sqrt{n} \) mit k|n.

Meine Überlegungen: wenn n keine Primzahl ist dann gilt doch: n=k*m ,dann müsste es eine Vielfache einer Zahl sein. (?)

wenn ich auf  beiden Seiten mit k teilen würde dann: \( \frac{n}{k} \) = \( \frac{m}{k} \) , aber kann sein dass ich auch gerade völlig falsch liegen.Und was ich noch weiß ist, dass 2 die kleinste einzige Primzahl ist und verstehe ja auch dann die linke Ungleichung aber den Rest der Ungleichung leider nicht.

Ich würde mich auf jede Antwort freuen.

Danke im Voraus!

Gruß

Comments

Wenn \(k>\sqrt n\) und \(m>\sqrt n\) wäre, dann wäre \(k\cdot m>\sqrt n\cdot\sqrt n=n\), also insbesondere \(k\cdot m\ne n\) im Widerspruch zur Voraussetzung. Also muss einer der Faktoren kleiner oder gleich \(\sqrt n\) sein.

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Okey jetzt hat es klick gemacht vielen Dank !

Answer 1

Hallo

das wesentliche ist ja in welchem Bereich k liegt, a) n ist eine Quadratzahl dann gibt es k=√n

jetzt noch zeigen n keine Quadratzahl , dann gibt es ein k<√n,  einfach ist das mit einem Wiederspruchsbeweis

Gruß lul

Comments

Aber wenn ich annehme, dass  n eine QZ ist dann gilt:

n=k² ⇔\( \sqrt{n} \) = k also bis jetzt ja kein Widerspruch zur Aussage.

Da laut Aussage n >1 keine Primzahl ist, kann ich ja die Wurzel aus den QZ ziehen und erhalte meine natürliche Zahl k.

Wie kann ich denn also zeigen, dass n keine Quadratzahl ist?

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Da laut Aussage n >1 keine Primzahl ist, muss es zwei natürliche Zahlen k und m geben, sodass n=k·m. Nur wenn k=m ist, gilt \( \sqrt{n} \) =m=k. Wenn aber einer der Faktoren m bzw. k größer ist, als \( \sqrt{n} \), dann ist der andere Faktor kleiner als \( \sqrt{n} \).

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Vielen dank hab es verstanden