Bestimmen Sie den nötigen Sektorwinkel (Kreiskegel möglichst großen Volumens formen)

Question

Aus einem kreisrunden Stück Papier soll ein Sektor so herausgeschnitten werden, dass daraus ein Kreiskegel möglichst großen Volumens geformt werden kann. Bestimmen  Sie den dafür nötigen Sektorwinkel.

Bei der folgenden Extremwertaufgabe dürfen Sie ausnahmsweise auch die Teile Ihres Schulwissens benutzen, die noch nicht in der Vorlesung behandelt wurden

Comments

Ich habe auch eine kurze Frage: Wir haben für Alpha ja einen überstumpfen Winkel raus. Das heißt doch, dass das ausgeschnittene Stückchen dann einen Winkel von 360-Alpha hat, oder?  Kommt dieser Winkel dann in den Antwortsatz bei der Aufgabe oder der Größere?

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Also ich habe es wie folgt verstanden:

Aus einem kreisrunden Stück Papier soll ein Sektor so herausgeschnitten werden, dass daraus ein Kreiskegel möglichst großen Volumens geformt werden kann. Bestimmen  Sie den dafür nötigen Sektorwinkel.

Wir schneiden einen Sektor aus und daraus soll der Kegel gebastelt werden.

Damit ist gefragt welchen Sektorwinkel muss mein Kreissektor haben, damit der Daraus gebastelte Kegel maximales Volumen besitzt. Es ist nicht gefragt wie viel wir wegschneiden müssen.

Ich bastel also aus dem Kreissektor mit dem Winkel 293,9 Grad einen Kegel und nicht aus dem anderem Kreissektor.

Answer 1

Ich nehme einen Einheitskreis mit dem Radius 1 und forme daraus einen Kreiskegel.

Wenn ich einen Sektor nehme ist die Bogenlänge b gleich dem Sektorwinkel im Bogenmaß.

V = 1/3 * pi * r^2 * h = 1/3 * pi * (b/(2pi))^2 * sqrt(1 - (b/(2pi))^2) = b^2·√(4·pi^2 - b^2)/(24·pi^2)

Damit V maximal wird kann auch V^2 maximal werden

V^2 = b^4/(144·pi^2) - b^6/(576·pi^4)

Das ist jetzt nur noch von b abhängig also muss ich das nach b ableiten.

(v^2)' = b^3/(36·pi^2) - b^5/(96·pi^4) = 0

b^3 * (1/(36·pi^2) - b^2/(96·pi^4)) = 0

1/(36·pi^2) - b^2/(96·pi^4) = 0

b = √(8/3)·pi ~~ 293,9 Grad

Comments

kannst du vielleicht nochmal kurz erklären wie du auf die höhe und auf den radius kommst

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Meine Bogenlänge b ist ja der Umfang der Grundfläche b = U

da gilt U = 2*pi*r gilt für den Radius der Grundfläche

r = U/(2*pi) = b/(2*pi)

Die Seitenlinie unseres Kreiskegels ist allerdings der alte Radius von 1 beim Einheitskreis. s = 1

da nach dem Pythagoras gilt

r^2 + h^2 = s^2

gilt für die Höhe

h^2 = s^2 - r^2 = 1 - (b/(2·pi))^2

h = √(1 - (b/(2·pi))^2)

Konntest Du das soweit nachvollziehen?

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Ich habe eine andere Frage:

 

Du gehst ja von Anfang an davon aus, dass wir den Einheitskreis benutzen.

Wieso kann man das oBdA annehmen?

Ich versuche mich hier gerade daran, die Konstante r des Kreises mitzuschleppen, Dadurch wird das ganze aber etwas komplizierter....

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Ein Einheitskreis bedeutet das der Radius die Länge 1 hat. Die Einheit bleibt hierbei nur unberücksichtigt. Das könnte 1mm, 1cm, 1dm, 1m oder auch eine Ausgedachte Einheit 1x sein. Wobei das x dann für eine x-belibige Länge steht.

Warum sollte sich der Öffnungswinkel ändern, wenn ich die ganze Aufgabe nur vergrößer. D.h. auch den gebastelten Kegel vergrößer.

Ein Quader mit gegebener Oberfläche hat z.B. auch immer den größten Rauminhalt, wenn es ein Würfel ist. Auch das ist unabhängig von der Größe.

Du kannst also, wenn Du rein in einer ausgedachten Einheit rechnest und alle Längen in dieser Ausgedachten Einheit angibts, immer irgendetwas auf 1 normieren. und dann alles in Bezug zu dieser Einheit angeben.

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danke für die lösung. aber könntest du erläutern wie du auf ::: b^2·√(4·pi^2 - b^2)/(24·pi^2) ::: und auf V² kommst? deine umformungen sind mir nicht ganz klar.

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Ok. Ich habe das hier mal etwas ausführlicher gemacht.

V = 1/3 * pi * (b/(2pi))^2 * √(1 - (b/(2pi))^2)

V = 1/3 * pi * (b^2/(4pi^2)) * √(1 - (b^2/(4pi^2)))

V = (b^2/(12pi)) * √(1 - (b^2/(4pi^2)))

V = b^2 * √((1/(144pi^2)) - (b^2/(4pi^2)) * (1/(144pi^2)))

V = b^2 * √((4pi^2)/(576pi^4) - (b^2/(576pi^4)))

V = b^2 * √( (4pi^2 - b^2)/(576pi^4) )

V = b^2 * √( (4pi^2 - b^2)/(576pi^4) )

V = b^2/(24pi^2) * √(4pi^2 - b^2)

 

V^2 = b^4/(576pi^4) * (4pi^2 - b^2)

V^2 = b^4/(144pi^2) - b^6/(576pi^4)

 

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ich habe andere ergebnisse rausbekommen :S

V=\dfrac{\pi \left(\frac{l}{2\pi}\right)^{2}\cdot \sqrt{1-\left(\frac{l}{2\pi}\right)^{2}}}{3} = \dfrac{l^{2}}{12\pi}\cdot \sqrt{1-\dfrac{l^{2}}{4\pi^{2}}} = l^{2} \cdot \sqrt{\dfrac{4\pi^{2}-l^{2}}{144\pi^{2}\cdot 4\pi^{2}}} = l^{2}\cdot \sqrt{\dfrac{4\pi^{2}-l^{2}}{576\pi^{4}}}\\

 

V^{2} = l^{4} \cdot \dfrac{4\pi^{2}-l^{2}}{576\pi^{4}} = \dfrac{l^{4}(4\pi^{2}-l^{2})}{576\pi^{4}} = \dfrac{l^{4}4\pi^{2}}{576\pi^{4}} - \dfrac{l^{6}}{576\pi^{4}} = \dfrac{l^{4}}{144\pi^{2}} - \dfrac{l^{6}}{576\pi^{4}}

Der Sektorwinkel beträgt 0,82\pi, also in etwa 147°

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So sieht HHU's Rechnung aus:

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Hm. Zumindest das

 \dfrac{l^{4}}{144\pi^{2}} - \dfrac{l^{6}}{576\pi^{4}}

sieht doch eigentlich genau so aus, wie meine Formel für V^2. Zumindest wenn man \dfrac als Bruch interpretiert.

\dfrac scheint allerdings der Formeleditor von mathelounge.de nicht zu kennen und lässt daher gleich den Bruchstrich weg, was zu einer Fehlinterpretation führt.

Trotzdem erschließt sich mir noch nicht der Weg, wie man von

 \dfrac{l^{4}}{144\pi^{2}} - \dfrac{l^{6}}{576\pi^{4}}

auf eine Lösung von 0,82\pi kommt.

 

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V={ \pi \left( \frac { l }{ 2\pi  }  \right) ^{ 2 }\cdot \sqrt { 1-\left( \frac { l }{ 2\pi  }  \right) ^{ 2 } }  }{ 3 }={ l^{ 2 } }{ 12\pi  }\cdot \sqrt { 1-{ l^{ 2 } }{ 4\pi ^{ 2 } } } \\ =l^{ 2 }\cdot \sqrt { { 4\pi ^{ 2 }-l^{ 2 } }{ 144\pi ^{ 2 }\cdot 4\pi ^{ 2 } } } =l^{ 2 }\cdot \sqrt { { 4\pi ^{ 2 }-l^{ 2 } }{ 576\pi ^{ 4 } } } \\ \\ Hier\quad hat\quad HHU\quad eine\quad Klammer\quad verloren\\ V^{ 2 }=l^{ 4 }\cdot { (4\pi ^{ 2 }-l^{ 2 } }{ 576\pi ^{ 4 }) }≠{ l^{ 4 }(4\pi ^{ 2 }-l^{ 2 }) }{ 576\pi ^{ 4 } }\\ ={ l^{ 4 }4\pi ^{ 2 } }{ 576\pi ^{ 4 } }-{ l^{ 6 } }{ 576\pi ^{ 4 } }={ l^{ 4 } }{ 144\pi ^{ 2 } }-{ l^{ 6 } }{ 576\pi ^{ 4 } }

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Ich wiederhole es gerne nochmals. Offensichtlich hat der Formeleditor von Gute-Fragen Schwierigkeiten mit der richtigen Interpretation dieser Latex-Formel.

So steht gleich in der ersten Zeile das drittel einfach so hinter dem Ausdruck. Wie als wenn es mal 3 heißt.

Auch in den folgenden Zeilen fehlen mehrfach die Bruchstriche, sodass die Formel einfach nur noch unleserlich wird.

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ihr gebt es besser direkt in einen richtigen latex editor ein. der integrierte hier taugt anscheinend nur für einfache befehle :)

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ja. da magst du recht haben. Aber ich glaube dieser Editor wurde auch nicht gemacht um damit Latex Befehle einzutippen sondern Grafisch Formeln einzugeben. Die Latexausgabe ist dann quasi nur ein Add-On eine zusätzliche nützliche Sache.

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da hast du vollkommen recht, back2topic. :)

ist es zulässig, wenn ich die bogenlänge habe mit pi zu mutliplizieren um den bogenwinkel herauszubekommen? habe da nämlich am schluss kein pi mehr gehabt wie du es hattest.

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Nein. Das wäre nicht zulässig. Beim Einheitskreis ist der Bogenwinkel 2pi. Wenn Du einfach nur irgendwo 2 stehen hast ist das ja nicht dasselbe wie 2pi und darf daher auch nicht mit pi einfach multipliziert werden.

Ich bin mir eigentlich ziemlich sicher das meine Aufgabe richtig gerechnet ist.

Also bnis zu V^2 hast Du ja noch exakt das gleiche wie ich. Also können wir davon ausgehen das es richtig ist.

Deine Ableitung ist auch noch richtig nur die Zusammenfassung zu 4l^3 - 6l^5 ist verkehrt weil du nur einmal kürzen kannst und dann trotzdem noch der nenner vorhanden bleibt.

Also schau dir die Ableitung mit vereinfachung nochmal bei dir an und wie ich es gemacht habe.

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PS. Darf ich fragen welchen Latex-Editor du verwendest? Meiner ist irgendwie leider nicht so schön zu bedienen :(

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texstudio, ok werd mich wohl oder übel nochmal dran setzen müssen.

EDIT: hat sich erledigt. danke ;)