Zeigen Sie, dass die folgenden Eigenschaften von Exponential- und Logarithmusfunktionen gelten

Question

Aufgabe:

Definition:
Die Funktion exp_a: ℝ → ℝ₊ , exp_a(x) = a^x, mit a ∈ ℝ₊{1}, heißt Exponentialfunktion mit Basis .

Seien a ∈ ℝ₊\{1} und x ∈ ℝ₊. Die eindeutig bestimmte Lösung y der Gleichung a^y = x wird mit log_a(x) bezeichnet; durch log_a: ℝ₊ → ℝ, x ↦ log_a(x) wird eine Funktion definiert, die Logarithmusfunktion mit Basis a heißt.

Zeigen Sie, dass die folgenden Eigenschaften von Exponential- und Logarithmusfunktionen (im jeweiligen Definitionsbereich) gelten:

1.)  exp_a(x + y) = exp_a(x) ∙ exp_a(y)
2.) log_a(x ∙ y) = log_a(x) + log_a(y)
3.) log_a(x^b) = b ∙ log_a(x)

Comments

Mir ist unklar, ob man hier die Potenzgesetze / Logarithmengesetze verwenden darf. Im Prinzip sollst du ja genau die herleiten.

Aber die Herleitung findest du im Internet ja sehr leicht nehme ich mal an.

Answer 1

1) Hängt davon ab wie \(a^x\) definiert wurde und welche Sätze du darüber schon bewiesen hast.

2) Es ist

        \(xy = \exp_a(\log_a(xy))\)

laut Definition von \(\exp_a\). Außerdem ist

        \(xy = \exp_a(\log_a(x))\cdot \exp_a(\log_a(y))\stackrel{\text{1)}}{=}\exp_a(\log_a(x)+\log_a(y))\)

laut Definition von \(\exp_a\) und wegen 1).

Also ist

        \(\exp_a(\log_a(xy)) = \exp_a(\log_a(x)+\log_a(y))\).

Wegen der eindeutigen Lösbarkeit der Gleichung \(a^b = c\) ist somit

        \(\log_a(xy) = \log_a(x)+\log_a(y)\).

3) Siehe 1)