Zeigen, dass in einem Wahrscheinlichkeitsraum folgende Aussagen richtig sind

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für Ereignisse \( A, B, C \) in einem Wahrscheinlichkeitsraum \( (\Omega, \mathcal{A}, P) \) die folgende Aussage richtig ist:

\( \begin{aligned}P(A \cup B \cup C)=& P(A)+P(B)+P(C) \\  &-P(A \cap B)-P(A \cap C)-P(B \cap C)+P(A \cap B \cap C) . \end{aligned} \)
Sei nun \( \Omega=\{1,2, \ldots, 100\}, \mathcal{A}=2^{\Omega} \) und \( P(A)=\frac{\# A}{100} \) für \( A \in 2^{\Omega} \). (\#A bezeichne die Anzahl der Elemente von \( A \).)

Beweisen Sie folgende Aussagen:

a) Es gibt drei Ereignisse \( A, B, C \) mit \( P(A)=P(B)=P(C)=0.9 \) und \( P(A \cap B \cap \) \( C)=0.7 \).

b) Es gibt keine Ereignisse \( A, B, C \) mit \( P(A)=P(B)=P(C)=0.9 \) und \( P(A \cap \) \( B \cap C)<0.7 \).

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Wir definieren temporär \(X:=B\cup C\), dann gilt:$$P(A\cup X)=P(A)+P(X)-P(A\cap X)$$

Setzen wir \(X\) ein, folgt:$$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B\cup C)-P(A\cap (B\cup C))$$

Darin können wir folgende Ersetzungen vornehmen:$$P(B\cup C)\qquad\;\;=P(B)+P(C)-P(B\cap C)$$$$P(A\cap (B\cup C))=P((A\cap B)\cup (A\cap C))$$$$\phantom{P(A\cap (B\cup C))}=P(A\cap B)+P(A\cap C)-P(\;(A\cap B)\cap(B\cap C)\;)$$$$\phantom{P(A\cap (B\cup C))}=P(A\cap B)+P(A\cap C)-P(A\cap B\cap C)$$

Wir setzen alles zusammen und finden die zu beweisende Formel:$$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)$$$$\phantom{P(A\cup B\cup C)}-P(B\cap C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)+P(A\cap B\cap C)$$

Kommst du nun mit den Anwendungen in (a) und (b) klar?