Zeigen Sie, dass Z4 = {0,1,2,3} mit x⊕y = [x+y]4 und x⊙y = [xy]4 ein kommutativer Ring ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass Z4 = {0,1,2,3} mit x⊕y = [x+y]4 und x⊙y = [xy]4 ein kommutativer Ring ist. Widerlegen Sie außerdem, dass es sich dabei um einen Körper handelt.

Answer 1

Prüfe die Ringaxiome. Es lässt sich immer auf die

Gültigkeit in ℤ zurückführen, z.B. ⊕ ist assoziativ, weil

a ⊕ ( b ⊕ c)

= a ⊕ [b+c]4

= [ a+ [b+c]4 ]

und für den 4er-Rest einer Summe kommt es ja nur auf die Reste der Summanden an.

= [ a+(b+c) ]4  wegen Gülitkeit in ℤ also

=  [ (a+b)+c) ]4

=  [ [a+b]4+c) ]4

=  [ (a⊕b)+c) ]4

=  (a⊕b) ⊕ c

etc.

Kein Körper, weil 2 kein multiplikatives Inverses hat.