Untersuchen, wo eine Funktion stetig fortsetzbar ist

Question

$$f(x)=\frac{x^3+3x^2-x-3}{x^2+x-6}+\frac{(2x-6)^2}{x^2-6x+9}$$

Ich muss angeben, für welche nicht definierten x ∈ ℝ f stetig fortsetzbar ist. Ich komme auf folgendes Ergebnis:

Stetig fortsetzbar für $$x_1=-3\text{, }x_2=2$$
$$f'(-3)=-1,6\text{, }f'(2)=4.6$$

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=\frac{x^3+3x^2-x-3}{x^2+x-6}+\frac{(2x-6)^2}{x^2-6x+9}=\frac{x^2(x+3)-(x+3)}{(x+3)(x-2)}+\frac{2^2(x-3)^2}{(x-3)^2}$$$$\phantom{f(x)}=\frac{(x^2-1)(x+3)}{(x+3)(x-2)}+\frac{4(x-3)^2}{(x-3)^2}=\frac{x^2-1}{x-2}+4$$

Die Funktion hat Definitionslücken bei den Nullstellen der Nenner. Daher ist:$$D=\mathbb R\setminus\{-3,2,3\}$$An den Stellen \(x=-3\) und \(x=3\) ist sie stetig fortsetzbar, da sich die Nenner-Faktoren \((x+3)\) und \((x-3)^2\) rauskürzen lassen. Die stetigen Fortsetzungen sind:$$f(-3)=\frac{12}{5}\quad;\quad f(3)=12$$