Wie lässt sich diese Ungleichung zeigen?

Question

Aufgabe:

2 • x_d+1 • y_d+1 • (∑x_iy_i) ≤ (x_d+1² • (∑y_i²)) + (y_d+1² • (∑x_i²))

x und y sind dabei Elemente aus ℝ und die Summe läuft jeweils von i=0 nach d.

Problem/Ansatz:

Wie lässt sich diese Ungleichung zeigen ? Ich wäre über jegliche Hilfe dankbar.

Answer 1

Die Ungleichung folgt direkt aus der Binomischen Formel:
\( \begin{aligned} \left(y_{d+1} \cdot x_{i}-x_{d+1} \cdot y_{i}\right)^{2} & \geqslant 0 \\ y_{d+1}^{2} \cdot x_{i}^{2}-2 y_{d+1} \cdot x_{i} \cdot x_{d+1} y_{i}+x_{d+1}^{2} y_{i}^{2} & \geqslant 0 \\ y_{d+1}^{2} \cdot x_{i}^{2}+x_{d+1}^{2} y_{i}^{2} & \geqslant 2 y_{d+1} \cdot x_{i} \cdot x_{d+1} y_{i} . \end{aligned} \)
Nun kannst du über alle \( 0 \leqslant i \leqslant d \) summieren und erhältst
\(\begin{aligned} \begin{array}{l} \sum \limits_{i=0}^{d}\left(y_{d+1}^{2} \cdot x_{i}^{2}+x_{d+1}^{2} y_{i}^{2}\right) \geqslant \sum \limits_{i=0}^{d}\left(2 y_{d+1} \cdot x_{i} \cdot x_{d+1} y_{i}\right) \\ y_{d+1}^{2} \sum \limits_{i=0}^{d} x_{i}^{2}+x_{d+1}^{2} \sum \limits_{i=0}^{d} y_{i}^{2} \geqslant 2 y_{d+1} x_{d+1} \sum \limits_{i=0}^{d} x_{i} y_{i} . \end{array}\end{aligned} \)