Zeige folgende Ungleichung: Σ (n = k bis l) (1/n^2) ≥ 1/k - 1/(l + 1)

Question

Seien k, l ∈ N mit 0 < k < l. Zeigen, dass die Ungleichung gilt.

\( \sum \limits_{n=k}^{l} \frac{1}{n^{2}} \geq \frac{1}{k}-\frac{1}{l+1} \)

Answer 1

$$ \sum_{n=k}^{i}\frac{1}{n^2 }< \frac{1}{k^2 }+\frac{1}{k }-\frac{1}{i }$$

mit  0 < k < i.

Induktion über die Anzahl a der Summanden:

wegen k<i beginnt es mit a=1 also Summe von k bis k+1 .

Da ist zu zeigen

$$ \sum_{n=k}^{k+1}\frac{1}{n^2} < \frac{1}{k^2}+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$

$$ <=> \frac{1}{k^2} + \frac{1}{(k+1)^2} < \frac{1}{k^2}+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$

$$ <=>  \frac{1}{(k+1)^2} < \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$

$$ <=>  \frac{1}{(k+1)^2} < \frac{1}{k(k+1)}$$

Und weil (k+1)² immer größer als k(k+1) ist, ist das immer wahr.

Angenommen, es gibt ein a, für das die Aussage für alle k  stimmt, dann ist zu zeigen, dass

sie auch für a+1 stimmt. Also hat man

$$ \sum_{n=k}^{i}\frac{1}{n^2} < \frac{1}{k^2}+\frac{1}{k}-\frac{1}{i}$$

und muss zeigen

$$ \sum_{n=k}^{i+1}\frac{1}{n^2} < \frac{1}{k^2}+\frac{1}{k}-\frac{1}{i+1}$$

Also los:$$ \sum_{n=k}^{i+1}\frac{1}{n^2} $$

$$= \sum_{n=k}^{i}\frac{1}{n^2} +\frac{1}{(i+1)^2} $$  wegen Ind. vor.

$$ < \frac{1}{k^2}+\frac{1}{k}-\frac{1}{i}+\frac{1}{(i+1)^2}$$

$$ = \frac{1}{k^2}+\frac{1}{k}- (\frac{1}{i}-\frac{1}{(i+1)^2})$$

$$ = \frac{1}{k^2}+\frac{1}{k}-\frac{i^2 + i +1}{i*(i+1)^2}$$

$$ < \frac{1}{k^2}+\frac{1}{k}-\frac{i^2 + i }{i*(i+1)^2}$$

$$ = \frac{1}{k^2}+\frac{1}{k}-\frac{i*(i+1) }{i*(i+1)^2}$$

$$ = \frac{1}{k^2}+\frac{1}{k}-\frac{1 }{i+1}$$

Bingo !

Comments

Vielen dank!

Warum ist a=2 bzw. wie kommt man darauf?

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a ist die Anzahl der Summanden.

Also mindestens 2.

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<=>1/(k+1)2<1/k−1/(k+1)
<=>1/(k+1)2<1/k(k+1)

Wieso heißt es nicht 1/k(k-1)

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Bruchrechnung:

1/k    -     1/(k+1)   [Erweitern auf Hauptnenner]

= (k+1)/( k*(k+1))   -  k/( k*(k+1))

= ((k+1) - k )   /  ( k*(k+1))

=   1  /  ( k*(k+1))

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Wie kommt man von

=(1/k^2+1/k−i^2+i+1)/i(i+1)^2

zu
<1/k^2+1/k−i^2+i/i(i+1)^2   ?

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Du meinst das ?

$$  \frac{1}{k^2}+\frac{1}{k}-\frac{i^2 + i +1}{i*(i+1)^2}$$

$$ < \frac{1}{k^2}+\frac{1}{k}-\frac{i^2 + i }{i*(i+1)^2}$$

Es ist ja sicher i^2 + i +1 >  i^2 + i .

Und wenn von der Summe der ersten beiden

Brüche etwas größeres abgezogen wird ,

ist das Ergebnis kleiner, als wenn etwas kleineres

abgezogen wird.

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Wie hast du das umgeformt? Ja, ich meinte das.

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Nix umgeformt, abgeschätzt:

Wenn der Subtrahend größer wird, wird die Differenz kleiner.

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Aber du hast das weggekürzt und deswegen frage ich mich wie du das gemacht hast?

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Ich habe nur im Zähler das +1 weggelassen,

(nicht gekürzt, das würde ja bei + gar nicht gehen)

 also den Zähler verkleinert,

dadurch wird der ganze Bruch kleiner,

also die Differenz größer.

Answer 2

Zu zeigen

Σ (n = k bis l) (1/n^2) ≥ 1/k - 1/(l + 1)

Induktionsanfang l = k

Σ (n = k bis k) (1/n^2) ≥ 1/k - 1/(k + 1)

1/k^2 ≥ 1/(k^2 + k)

wahr

Induktionsschritt l --> l + 1

Σ (n = k bis l + 1) (1/n^2) ≥ 1/k - 1/((l + 1) + 1)

Σ (n = k bis l) (1/n^2) + 1/(l + 1)^2 ≥ 1/k - 1/(l + 2)

1/k - 1/(l + 1) + 1/(l + 1)^2 ≥ 1/k - 1/(l + 2)

1/((l + 2)·(l + 1)^2) ≥ 0

wahr