Vollständige Induktion: Summe Σ^{ n-1},_( k=1) 1/k ≥ ln(n)

Question

Hallo kann mir jemand auf die Sprünge helfen, ich weiß nicht wie ich das weiter umformen kann.
Hätte nun mit n multipliziert, um die linke Seite auf 1 zu bringen aber ich glaube das bringt einen auch nicht weiter :/
Geht mein Anfang denn schonmal in die richtige Richtung?

In der Aufgabe ist noch ein Hinweis mit dem ich allerdings nichts anfangen konnte:
"Die Ungleichung ln x <= x - 1 für alle x > 0 darf als bekannt Vorausgesetzt werden."

Das soll man wohl irgendwie mit einfließen lassen... hm.

Comments

Ich vermisse hier das Fragezeichen über der Ungleichung, die du beweisen möchtest.

Ebenso müsste bei einem Beweis die Rechenrichtung auch umgekehrt stimmen.

Warum machst du denn einen Induktionsbeweis? Die Ungleichung lässt sich doch zeigen, wenn man die Summe als Untersumme von f(x) = 1/x auffasst. Vorausgesetzt, du kannst schon 1/x integrieren von x=  1 bis n.

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Weil ich das mit vollständiger Induktion lösen soll, andere Beweismethoden kenne ich noch nicht.

Das mit dem integrieren verstehe ich nicht, das muss ich mir erstmal irgendwo anschauen.

Vielen Dank schonmal :)

Answer 1

An der Stelle , bei der II unter dem Gleichheitszeichen steht, muss es  ≥ heißen.
Und die letzte Ungleichung kannst du doch weiter umformen

1/n  ≥ ln ( n/n + 1/n ) =  ln ( 1 +  1/n )
also
1/n  ≥   ln ( 1 +  1/n )

  Und wenn du in die Gleichung, die ihr benutzen dürft, für x = 1 + 1/n einsetzt, hast
du  ln ( 1 + 1/n )  <=  1+ 1/n - 1 = 1/n
und das ist es doch.