Question

Summe der ersten n ungeraden Zahlen. Beweisen Sie durch vollständige Induktion:

Σ(2k-1) = n^2

Wie macht man das?

\( \sum \limits_{k=1}^{n}(2 k-1)=n^{2} \quad \forall n \in \mathrm{N} \)

Comments

Vgl. auch hier: https://www.mathelounge.de/21387/beweisen-sie-per-induktion-1-3-5-2n-1-n²

Answer 1

∑ (k = 1 bis n) (2·k - 1) = n^2

Induktionsanfang: Wir zeigen dass es für n = 1 gilt.

∑ (k = 1 bis 1) (2·k - 1) = 1^2

(2·1 - 1) = 1^2

1 = 1

Stimmt!

Induktionsschritt: Wir zeigen das es für n + 1 gilt, unter der Annahme, dass es für n gilt.

∑ (k = 1 bis n + 1) (2·k - 1) = (n + 1)^2

∑ (k = 1 bis n) (2·k - 1) + (2·(n + 1) - 1) = (n + 1)^2

n^2 + 2·n + 1 = (n + 1)^2

Wir erkennen die binomische Formel und sind fertig.

Comments

∑ (k = 1 bis n) (2·k - 1) + (2·(n + 1) - 1) = (n + 1)2

n2 + 2·n + 1 = (n + 1)2

warum verschwindet das k??

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Nach Induktionsannahme gilt

∑ (k = 1 bis n) (2·k - 1) = n^2

Also kann ich auch für den Linken Term einfach n^2 einsetzen.

Answer 2

Weil $$ \sum_{k=1}^n k = \frac{(n+1)n}{2} $$ gilt, folgt die Behauptung.