vollständige Induktion: Summe von ungeraden Zahlen

Question

ich will gerade dieses Aufgabe machen, aber irgendwie kriegt ich gerade nichts hin.

Ich hab nachgewiesen, dass 1 dazugehört.

Jetzt wollte ich A(n+1)  machen, aber ich komm nicht auf das Endergebnis von n^2.

Hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt.

Ich mein die letzte Aufgabe, also 1.16

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EDIT: Leider sieht man die Nummer 1.16 nicht.

Nachdem ich dort handschriftlich 2n+1 sehe, habe ich in der Überschrift "Summe von ungeraden Zahlen" ergänzt. Wenn du so was von Anfang an selbst machst, erscheinen viele der gebräuchlichen Beweise automatisch bei den "ähnlichen Fragen" und du brauchst manchmal nicht auf eine Antwort zu warten.

PS. Es gibt übrigens auch eine Suche auf dieser Seite.

Answer 1

Hallo;

letzte Aufgabe:

Behauptung A(n):    Σ_k=1ⁿ  (2k-1)  = n²

> ich hab nachgewiesen, dass 1 dazugehört.

> Jetzt wollte ich A(n+1)  machen, aber ich komm nicht auf das Endergebnis von n².

Induktionsschritt  A(n)   →  A(n+1):

Bei solchen "Summengleichungen" ersetzt man 

Σ_k=1ⁿ⁺¹ ...   durch  Σ_k=1ⁿ ...  +  letzter Summand (mit k=n+1) :

Σ_k=1ⁿ⁺¹  (2k-1)   =   Σ_k=1ⁿ  (2k-1)  + 2(n+1) -1  

und wendet dann die Induktionsvoraussetzung (A(n) ist wahr für ein festes n) an:

=_A(n)    n² + 2(n+1) - 1 = n² + 2n +1 = (n+1)²    [1. binomische Formel]

Gruß Wolfgang

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@je2233

Informationsfrage für meine persönliche "Qualitätsverbesserung" :-) :

Was hat dir eigentlich an der 1. Antwort besser gefallen als an meiner Antwort?

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Vermutlich nichts. Er wollte denke ich uns beiden eine Auszeichnung geben. Das scheinen viele hier zu machen. Die geben mehrere Auszeichnungen hintereinander ohne zu wissen, dass nur die letzte als Auszeichnung gilt.

Anders kann ich mir Einträge wie

nicht erklären. Das solltest du aber inzwischen denke ich mitbekommen haben. Mir ist das zumindest schon sehr häufig aufgefallen, dass versucht wird kurz hintereinander mehreren die Auszeichnung zu geben.

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Habe ich mitbekommen. In einem Kommentar haben einige andere Antwortgeber und ich darüber diskutiert.

 Ich wollte eigentlich mit meiner "IF" nur die Bestätigung eines Fragestellers, dass das tatsächlich so ist.

Durch die "Umschreibung" wollte ich dem Fragesteller keine Antwort "in den Mund" legen :-)

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Zu deiner Information:

Du gibst eigentlich immer sehr kompetente hilfreiche Antworten, die eigentlich in den meisten Fällen über die Ausführlichkeit meiner Antworten weit hinaus gehen.

Auch gibst du dir immer Mühe die Antworten farbig aufzubereiten sodass sie für jeden Leser sehr verständlich sind.

Ich gebe mir bei weitem nicht so viel Mühe. Zum einen weil ich wohl ein fauler Mathematiker bin und zum anderen weil eigentlich die Fragesteller beim abschreiben und aufarbeiten der Antwort Gedanken machen sollten.

Irgendeine Studie besagte wenn du ein Buch auf dem Kopf herum hältst und liest kannst du dir das Geschriebene besser merken und nachvollziehen. Vermutlich weil man langsamer ließt und sich mehr Gedanken macht.

Sprich wenn ich könnte würde ich vermutlich meine Antworten auch noch kopfüber schreiben :)

˙uɐ ʇıɯɐp lɐɯ ǝʇsɥɔäu sɐp ɥɔı ǝƃuɐɟ ʇɥɔıǝllǝıʌ

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Die Auswahl deiner Antwort als Vergleichsanwort für meine "Investigation" hatte eigentlich nur 2 Gründe:

1) Sie war gerade da

2) Bei deinem Arbeitsvolumen bei ML kann mir niemand ernsthaft unterstellen, dass zwischen uns beiden jemals eine "Punkterivalität" bestehen könnte.

Aber jetzt plagt mich natürlich schon wieder meine investigative Neugierde: Habe ich den * jetzt deinen Redakteurkompetenzen zu verdanken? :-)

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Ich kann die beste Antwort nicht umändern. Das hast du also nicht mir sondern jemand anderem zu verdanken. Aber vermutlich jemandem mit Moderatorkompetenzen die über die meinigen hinausgehen.

Answer 2

Induktionsanfang: n = 0

(1 + x)^n ≥ n·x + 1

(1 + x)^0 ≥ 0·x + 1

1 ≥ 1 --> stimmt

Induktionsschritt: n --> n + 1

(1 + x)^{n + 1} ≥ (n + 1)·x + 1

(1 + x)^n + (1 + x)^n·x ≥ n·x + 1 + x

(1 + x)^n·x ≥ x

Fall 1: x = 0

(1 + x)^n·0 ≥ 0 --> erfüllt

Fall 2: x > 0

(1 + x)^n ≥ 1 -- erfüllt

Fall 3: -1 < x < 0

(1 + x)^n ≤ 1

Für alle Fälle von x erfüllt.

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∑ (k = 1 bis n) (2·k - 1) = n^2

Induktionsanfang: Wir zeigen dass es für n = 1 gilt.

∑ (k = 1 bis 1) (2·k - 1) = 1^2

(2·1 - 1) = 1^2

1 = 1

Stimmt!

Induktionsschritt: Wir zeigen das es für n + 1 gilt, unter der Annahme, dass es für n gilt.

∑ (k = 1 bis n + 1) (2·k - 1) = (n + 1)^2

∑ (k = 1 bis n) (2·k - 1) + (2·(n + 1) - 1) = (n + 1)^2

n^2 + 2·n + 1 = (n + 1)^2

Wir erkennen die binomische Formel und sind fertig.