Vollständige Induktion bei einer Ungleichung: Σ 1/k^2 < 2 - 1/n

Question

Σ

ich habe hier eine Induktionsaufgabe die ich nicht ganz raffe.

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } \le 2-\frac { 1 }{ n }  } $$

Induktionsanfang und Induktionsannahme habe ich ohne Probleme gemacht doch beim den Induktionsschritt komm ich nicht weiter. Ich muss ja zeigen dass

$$\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } \le 2-\frac { 1 }{ n+1 }  } $$

$$\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } \le \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { (n+1) }^{ 2 } } \le  }  } 2-\frac { 1 }{ n } +\frac { 1 }{ { (n+1) }^{ 2 } } \le 2-\frac { 1 }{ n+1 } $$

Wie soll ich aber die letzte Relation also:

$$2-\frac { 1 }{ n } +\frac { 1 }{ { (n+1) }^{ 2 } } \le 2-\frac { 1 }{ n+1 } $$

beweisen???

Bitte kann mir da jemand helfen. Ist sehr !!!!
Gruß

Anderlin

Answer 1

Deine letzte Ungleichung ist äquivalent mit \( 0 \le n  \) wenn man alles normal umstellt. Damit ist die Ungleichung bewiesen.

Comments

Hi,
ach so kann  man dann sie beweisen?

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irgendwie komme ich nicht drauf. Kannst du bitte noch mal genauerer erklären was du mit n <=0 meinst.

Gruß

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Ich habe es jetzt so gelöst, keine Ahnung ob es richtig ist.

Ich habe mit etwas wahren angefangen:

$$n<n+1$$

$$\Longleftrightarrow { n }(n+1)<{ (n+1) }^{ 2 }$$

$$\Longleftrightarrow \frac { 1 }{ { n }(n+1) } >\frac { 1 }{ { (n+1) }^{ 2 } } $$

$$\Longleftrightarrow \frac { n+1-n }{ { n }(n+1) } >\frac { 1 }{ { (n+1) }^{ 2 } } $$

$$\Longleftrightarrow \frac { 1 }{ n } -\frac { 1 }{ (n+1) } >\frac { 1 }{ { (n+1) }^{ 2 } } $$

$$\Longleftrightarrow -\frac { 1 }{ (n+1) } >-\frac { 1 }{ n } +\frac { 1 }{ { (n+1) }^{ 2 } } $$

$$\Longleftrightarrow 2-\frac { 1 }{ (n+1) } >2-\frac { 1 }{ n } +\frac { 1 }{ { (n+1) }^{ 2 } } $$

Gruß

Anderlin

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Hi, zu beweisen ist ja
$$  2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2} \le 2 - \frac{1}{n+1}  $$
$$  \Leftrightarrow \frac{1}{(n+1)^2} \le \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)} $$
$$  \Leftrightarrow \frac{1}{n+1} \le \frac{1}{n} $$ also ist die Behauptung wahr.

Es geht aber auch so wie Du es gemacht hast.

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Danke noch mal!!!

Gruß

Anderlin