Sei \(K(x,r)=\{z\in X:\; d(z,x)\leq r\}\) die abgeschlossene Kugel mit Radius r
um x. Ist nun \(y\in \overline{B(x,r)}\), dann ist \(y\) ein Berührpunkt der
offenen Kugel. Es ist daher für jedes \(\epsilon > 0\)
\(B(y,\epsilon)\cap B(x,r)\neq \emptyset\), d.h. es gibt ein \(z\) mit
\(d(z,y)\lt \epsilon\) und \(d(z,x)\lt r\), folglich ist
\(d(y,x)\leq d(z,x)+d(z,y)\lt r+\epsilon\).
Da dies für jedes \(\epsilon > 0\) gilt, folgt \(d(y,x)\leq r\),
also \(y\in K(x,r)\) und damit \(\overline{B(x,r)}\subseteq K(x,r)\).