Lemma von Zorn und halbgeordnete Menge

Question

Komme mit der Aufgabe nicht weiter, kann mir da vielleicht jemand weiter helfen?:)

Aufgabe:

Seien M und N Mengen.
(a) Betrachte die Menge A aller injektiven Abbildungen f : D_f→ N mit D_f⊆ M und zeige, dass vermöge
f ≼ g : ⇐⇒ ( D_f ⊆ D_g & f = g | D_f) ( f : D_f → N , g : D_g→ N ) A zu einer halbgeordneten Menge wird.
(b) Zeige, dass für jedes maximale Element f : D_f→ N von A gilt: D_f= M oder f ist surjektiv.
(c) Benutze das Lemma von Zorn, um zu zeigen, dass es stets eine Injektion M → N oder eine Injektion N → M gibt.

Comments

Kannst Du denn zum Beispiel Aufgsbe a erledigen? Wenn nicht, was wäre denn zu zeigen?

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Hey, sorry Aufgabe a habe ich erledigt indem ich Reflexivität, Antisymmetrie etc. gezeigt habe… nur zu b und c fehlen mir leider ein Ansatz…

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Kennst du denn die Definition eines maximalen Elements?

https://de.wikipedia.org/wiki/Maximales_und_minimales_Element

Du sollst zeigen

\( f \) maximal => \( D_f = M \) oder \(f\) surjektiv

Nimm mal die Kontraposition

Sei also \( D_f ≠ M \) und \(f\) nicht surjektiv. Was heißt das jetzt?

Wir finden ein \( m \in M \setminus D_f \) und ein \( n \in N \setminus \operatorname{Bild}(f) \)

Jetzt überlege dir mal wie du eine Funktion \(g\) basteln kannst für das \(f \le g\) und \( f \neq g \) gilt. Warum folgt aus der Existenz dieses \(g\), dass \(f\) nicht maximal ist?

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Vielen Dank, hat geklappt! :) hast du mir noch ein Tipp für die c?