Hallo Roland,
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ich hatte erst gemeint, das wäre nicht eindeutig. Aber es ist tatsächlich eindeutig. Und der Verdacht war sofort da, dass die Eckpunkte des Netzes auf ganzzahlige Koordinaten fallen. Das ist der Fall. Das Volumen \(V\) ist daher$$V = 5^3$$
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Ausrechnen geht so:
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Einführen einer Basis in dem umhüllenden Rechteck:$$a = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix},\space b=\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}$$\((0,\,0)\) sei die Ecke unten links und \((19,\,21)\) die Ecke oben rechts. Die Kanten des Würfels seien die Vektoren \(u\) und \(v\)$$u=xa+yb = \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\quad x,\,y\in \mathbb R \\ v=-ya+xb = \begin{pmatrix} -y\\x \end{pmatrix}$$Und die Ecke des Netzes, die auf der linken Seite des Rechtecks liegt, sei \(s\)$$s=\begin{pmatrix} 0\\e \end{pmatrix} $$Dann gibt es drei Bedingungen wegen der Ecken des Netzes, die auf den Seiten des Rechtecks liegen$$\left(s+2v\right)_y = 21\\ \left(s+v+4u\right)_x = 19\\ \left(s+3u-v\right)_y = 0$$was dann zu folgendem Gleichungssystem führt$$e +2x = 21 \\ 0 -y + 4x = 19 \\ e+3y - x = 0$$mit der Lösung$$e=13,\quad x=4,\quad y=-3$$Also ist die Kantenlänge \(|u|\) des Würfels$$|u| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5$$
Gruß Werner
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