Welches Volumen hat der aus diesem Netz gefaltete Würfel?

Question

In einem 19×21-Rechteck findet das Netz eines Würfels in dieser Weise Platz:

Welches Volumen hat der aus diesem Netz gefaltete Würfel?

Answer 1

Hallo Roland,

ich hatte erst gemeint, das wäre nicht eindeutig. Aber es ist tatsächlich eindeutig. Und der Verdacht war sofort da, dass die Eckpunkte des Netzes auf ganzzahlige Koordinaten fallen. Das ist der Fall. Das Volumen \(V\) ist daher$$V = 5^3$$

Ausrechnen geht so:

Einführen einer Basis in dem umhüllenden Rechteck:$$a = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix},\space b=\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}$$\((0,\,0)\) sei die Ecke unten links und \((19,\,21)\) die Ecke oben rechts. Die Kanten des Würfels seien die Vektoren \(u\) und \(v\)$$u=xa+yb = \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\quad x,\,y\in \mathbb R \\ v=-ya+xb = \begin{pmatrix} -y\\x \end{pmatrix}$$Und die Ecke des Netzes, die auf der linken Seite des Rechtecks liegt, sei \(s\)$$s=\begin{pmatrix} 0\\e \end{pmatrix} $$Dann gibt es drei Bedingungen wegen der Ecken des Netzes, die auf den Seiten des Rechtecks liegen$$\left(s+2v\right)_y = 21\\ \left(s+v+4u\right)_x = 19\\ \left(s+3u-v\right)_y = 0$$was dann zu folgendem Gleichungssystem führt$$e +2x = 21 \\ 0 -y + 4x = 19 \\ e+3y - x = 0$$mit der Lösung$$e=13,\quad x=4,\quad y=-3$$Also ist die Kantenlänge \(|u|\) des Würfels$$|u| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5$$

Gruß Werner

Comments

Schön, dass Du die Aufgabe mittels Bestätigung eines Verdachtes löst. Geht es auch auf einem verdachtfreien Lösungsweg?

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Geht es auch auf einem verdachtfreien Lösungsweg?

Also Lösung raten und anschließend belegen, dass Lösung stimmt, reicht Dir nicht ... na schön ;-)

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ich habe den Rechenweg hinzu gefügt.

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Tipp: bei einem Rechteck mit der Kantenlänge von \(22\times21\) wäre die Lösung nicht sooo offensichtlich gewesen.

 

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@Werner: Danke für den Tipp.

Answer 2

Hallo,

in die Quadrate kann man rechtwinklige Dreiecke einzeichnen, die ähnlich zu dem in der linken oberen Ecke des Rechtecks sind und die halbe Seitenlängen haben.

Die längere Kathete sei a, die kürzere b.

Von oben nach unten durchläuft man drei Quadrate. Das liefert

3a+3b=21 , also a+b=7.

Von links nach rechts passiert man vier Quadrate, die so orientiert sind, dass man folgende Gleichung erhält:

4a+b=19.

Subtraktion liefert

3a=12 bzw a=4

und schließlich b=3 und c=5.

Damit ist V=5³=125.

:-)