Geben Sie eine Gleichung der Ebene an, in der alle Geraden h_{a} liegen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Gerade h_a mit h_a: $$ x =\begin{pmatrix} 3\\4\\4 \end{pmatrix}+ r* \begin{pmatrix} a\\-1\\0 \end{pmatrix} $$
Geben sie eine Gleichung der Ebene H an, in der alle Geraden ha liegen.
Zeigen Sie, dass nicht jeder Punkt der Ebene H auch ein Punkt der Gerade h_a ist.


Problem/Ansatz:

Ich verstehe wirklich überhaupt gar nicht, was ich da machen soll. Kann mir bitte jemand helfen?

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

ich verstehe wirklich überhaupt gar nicht, was ich da machen soll.

um zu verstehen, was man da machen soll, ist es außerordentlich hilfreich, sich diese Geradenschar - bzw. zunächst mal eine Gerade - im Raum vorzustellen.

Klick bitte auf das Bild. Dann öffnet sich Geoknecht3D und rotiere dann das Bild mit Hilfe der Maus, so dass Du einen räumlichen Eindruck bekommst. Bem.: mit einem Smartphone geht es womöglich nicht!

Die Gerade \(h_0\) - also diejenige bei der der Wert von \(a\) zu \(0\) gesetzt wird, habe ich in der Szene blau gezeichnet und den dazu gehörige Richtungsvektor rot.

\(h_0\) sieht so aus:$$h_0:\quad \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3\\ 4\\ 4\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}{\color{red}0}\\ -1\\ 0\end{pmatrix}$$und wenn man sich \(h_1\) dazu schreibt, ...$$h_1:\quad \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3\\ 4\\ 4\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}{\color{red}1}\\ -1\\ 0\end{pmatrix}$$... dann haben wir schon zwei unterschiedliche Geraden, mit einem gemeinsamen Punkt, womit sich dann die Ebene \(H\) aufspannen lässt:$$H:\quad\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ 4\\ 4\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}{\color{red}0}\\ -1\\ 0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}{\color{red}1}\\ -1\\ 0\end{pmatrix}$$und das ist alles! Wenn Du Dir jetzt noch die letzte Koordinaten-Zeile dieser Gleichung anschaust, so steht dort$$H:\quad z =4$$das ist die Koordinatenform der Ebene. D.h. alle Punkte der Ebene \(H\) haben die Z- (bzw. \(x_3\)-)Koordinate \(4\).

Der zweite Teil der Aufgabe ist etwas schwieriger

zeigen Sie, dass nicht jeder Punkt der Ebene H auch ein Punkt der Gerade h_a ist.

Dazu habe ich Dir die Ebene von oben gezeichnet, bzw. platt hingelegt.

https://www.desmos.com/calculator/9oeq0glfy3

Du siehst hier die Ebene von oben. Die blaue Gerade ist eine der Geraden aus der Geradenschar. Ich habe die Gerade \(h_1\) voreingestellt. Du kannst nun mit der Maus den linken Punkt bewegen und damit eine andere Gerade der Geradenschar erzeugen. Der Wert für \(a\) wird Dir dabei immer angezeigt.

Warum erreichst Du mit einer der blauen Geraden praktisch jede Stelle der Ebene, aber nie die roten Punkte?

Du hast sicher noch Fragen. Melde Dich dann bitte nochmal.

Gruß Werner

Comments

Danke für die gute Erklärung und die Mühe. Den ersten Teil verstehe ich jetzt. Aber der zweite ist mir immer noch nicht schlüssig. Ich kann auch ihre Frage nicht beantowrten, warum die blaue Gerade nie die roten Punkten berührt.

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Ich kann auch ihre Frage nicht beantworten, warum die blaue Gerade nie die roten Punkten berührt.

Du kannst den Punkt oben im Bild ausschließlich in vertikaler Richtung verschieben. Seine X- (bzw. \(x_1-\))Koordinate steht immer auf \(x_1=2\). Wohin müsstest Du diesen Punkt verschieben, damit die blaue Gerade genau senkrecht steht?

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Ich steh auf dem Schlauch. Ich weiß es nicht.

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Ich steh auf dem Schlauch. Ich weiß es nicht.

hast Du es probiert? Nun - es geht nicht. Die Gerade wird immer steiler, je mehr Du den Punkt nach oben (oder unten, das ist egal) verschiebst. Aber auch wenn Du ihn auf eine Posittion von 1000000 schiebst, steht die blaue Gerade immer noch nicht senkrecht!

Jetzt muss man "nur noch" das 'geht nicht' in 'mathematisch' übersetzen. Das geht so:

Ein beliebiger(!) Punkt \(P\) in der Ebene \(H\) hat die Koordinaten$$P=\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ 4\end{pmatrix}$$Wenn dieser Punkt \(P\) auf einer der Geraden aus der Schar \(h_a\) liegt, muss er die Gleichung$$h_a=\begin{pmatrix}3\\ 4\\ 4\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}a\\ -1\\ 0\end{pmatrix}= P = \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ 4\end{pmatrix}$$erfüllen. Soweit klar? Falls nicht bitte nachfrage!

D.h. es muss möglich sein, ein \(a\) und ein \(r\) für diesen Fall zu berechnen, welches die Gleichung erfüllt. Dazu muss jede der drei Koordinatengleichungen erfüllt sein.

Fangen wir mal unten, bei \(x_3\) an. Dort steht:$$4=4\space \checkmark$$das geht immer. In der Zeile von \(x_2\) steht$$4 +r\cdot (-1) = x_2 \implies r = 4-x_2$$das ist auch ok, Bei einem beliebigen Wert für \(x_2\) kommt immer ein Wert für \(r\) heraus.

Und dann die erste Zeile mit \(x_1\)$$3 + r\cdot a = x_1 \\\implies a =\frac{x_1-3}{r}$$\(r\) war oben schon berechnet worden und das \(x_1\) ist gegeben und dann kann man \(a\) daraus berechnen.

ABER was ist, wenn \(r=0\) ist? Eine Division durch \(0\) ist nicht zulässig. Es gäbe kein Ergebnis für \(a\)! Und wann ist \(r=0\)? Schau mal oben nach!$$r = 4-x_2 \to 0 \implies x_2(r=0)=4$$Das ist genau dann der Fall, wenn die \(x_2\)-Koordinate \(=4\) ist. Und diese Punkte bilden die vertikale Gerade mit den roten Punkten oben im Bild.

Die Ausnahme von der Ausnahme ist der eine Punkt \((3|\,4|\,4)\). Dies ist der einzige Punkt mit \(x_2=4\), der auf der Geradenschar \(h_a\) liegt. Dort ist \(r=0\) und \(a\) ist egal!

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Habe ich das jetzt richtig verstanden, dass alle Punkt, bei denen die x2-Koordinate =4 ist (außer (3/4/4) nicht auf der Geraden h_a liegen?

Ich verstehe nicht, wieso Sie die zweite Zeile nach r aufgelöst haben und die erste Zeile dann nach a.

Ich dachte man hätte dann das r= 4-x₂ in die erste Zeile einsetzen müssen? Wieso muss man das nicht machen?

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Habe ich das jetzt richtig verstanden, dass alle Punkt, bei denen die x₂-Koordinate =4 ist (außer (3/4/4) nicht auf der Geraden h_a liegen?

Genau das ist der Fall!

Ich verstehe nicht, wieso Sie die zweite Zeile nach r aufgelöst haben und die erste Zeile dann nach a.

Es ging doch darum, sowohl \(r\), als auch \(a\) zu berechnen. In der zweiten Zeile kommt nur das \(r\) vor und ist damit aus der zweiten Zeile heraus berechenbar. Die erste Zeile habe ich dann nach \(a\) aufgelöst, da \(r\) ja quasi bereits berechnet ist.

Ich dachte man hätte dann das r= 4-x2 in die erste Zeile einsetzen müssen?

Ja natürlich. Da habe ich lediglich nicht explizit hingeschrieben$$a = \frac{x_1-3}{r}=\frac{x_1-3}{4-x_2}$$Und jetzt stellt sich die Frage, wann der Nenner \(=0\) wird. Das ändert nichts an der obigen Aussage.

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Ah jetzt hab ich es verstanden. Vielen Dank, sie waren mir eine große Hilfe.

Answer 2

Wenn - wie behauptet wird- alle Geraden dieser Schar in einer gemeinsamen Ebene liegen, dann genügt es doch sich davon zwei Geraden herauszunehmen und mit diesen beiden Geraden die Ebene aufzuspannen.

Comments

Kannst du genauer erklären, was du meinst?

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Nein, den Ausdruck "zwei Geraden" kann man nicht präziser formulieren.

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Nein, den Ausdruck "zwei Geraden" kann man nicht präziser formulieren

bloss blöd, wenn man keine Vorstellung davon hat, was die komischen Zeichen und Zahlen aus der Aufgabenstellung mit einer Geraden zu tun haben ;-)

Answer 3

x = [3, 4, 4] + r * [a, -1, 0]

x = [3, 4, 4] + r * ([0, -1, 0] + [a, 0, 0])

x = [3, 4, 4] + r * [0, -1, 0] + r * a * [1, 0, 0]

mit s = r * a

x = [3, 4, 4] + r * [0, -1, 0] + s * [1, 0, 0]) ist die Parameterform der Ebene

z = 4 ist die Koordinatenform der Ebene

Da s immer Null wird, wenn r = 0 ist, kann man für r eigentlich kein s ≠ 0 wählen. Also

x = [3, 4, 4] + 0 * [0, -1, 0] + 1 * [1, 0, 0] = [4, 4, 4] 

ist kein Punkt der Geradenschar, aber wohl ein Punkt der Ebene.