Aloha :)
Es seien \(a,b,c\in\mathbb R\) und es gelte für alle \(x\in\mathbb R\):$$a\cdot1+b\cdot\sin(x)+c\cdot\cos(x)=0$$Diese Gleichung muss insbesondere für \(x=0\) und \(x=\pi\) gelten:$$x=0\implies a+c=0$$$$x=\pi\implies a-c=0$$Beide Koeffizienten-Gleichungen werden eindeutig gelöst durch \(a=c=0\).
Damit muss nun aber \(b\cdot\sin(x)=0\) für alle \(x\in\mathbb R\) gelten, woraus \(b=0\) folgt.
Daher sind die Funktionen \(1\), \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) linear unabhängig, sie spannen einen UVR der Dimension \(3\) auf.