Basisfindung von UVR der durch Funktionen aufgespannt wird.

Question

Aufgabe:

Ich habe einen UVR V der von den Funktionen 1, sin(x) und cos(x) aufgespannt wird. Ich möchte jetzt zeigen, dass dimV=3 ist.

Problem/Ansatz:

Dafür möchte ich zeigen, dass 1, sin(x) und cos(x) lin. unab. sind und damit beweisen, dass es sich hier um eine Basis handelt und die Dimension abzulesen.

Ist mein Ansatz richtig?

Viele Grüße Simplex

Answer 1

Aloha :)

Es seien $a,b,c\in\mathbb R$ und es gelte für alle $x\in\mathbb R$:$$a\cdot1+b\cdot\sin(x)+c\cdot\cos(x)=0$$Diese Gleichung muss insbesondere für $x=0$ und $x=\pi$ gelten:$$x=0\implies a+c=0$$$$x=\pi\implies a-c=0$$Beide Koeffizienten-Gleichungen werden eindeutig gelöst durch $a=c=0$.

Damit muss nun aber $b\cdot\sin(x)=0$ für alle $x\in\mathbb R$ gelten, woraus $b=0$ folgt.

Daher sind die Funktionen $1$, $\sin(x)$ und $\cos(x)$ linear unabhängig, sie spannen einen UVR der Dimension $3$ auf.

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Vielen Dank für die Antwort!