Beschränktheit von Teilmengen

Question

Aufgabe:

A und B sind nicht leer und beschränkte Teilmengen aus ℝ.

Ich soll jetzt beweisen, dass  A-B := {a-b | a∈A und b∈B}  beidseitig beschränkt ist.

Problem/Ansatz:
Ich habe mir gedacht, dass ich sage 0 und 1 sind ∈ aus A und B.
Dann habe ich die Fälle 0-0=0, 0-1= -1 usw. definiert und anschließen eine untere Schranken benannt (z.B. -2)

Ich habe keine Ahnung, ob ich das richtig gemacht habe und würde gerne wissen, wie man bei so einem Beweis vorgehen soll.

Ich freue mich, wenn mir jemand helfen kann :)

Answer 1

Mit Besipielen kann man sich solche Aufgaben veranschaulichen, allerdings ist das kein Beweis. Du musst dir klar machen, wie die Definition für eine obere und untere Schranke lautet. Dann kannst du verwenden, dass A und B eine obere und untere Schrabke besitzt und dann Schaust du dir die Menge A-B an und dort a-b und schaust ob du eine obere und untere Schrank  von der Menge A oder B verwenden kannst

Comments

Danke für die schnelle Antwort. :)

Ich habe für A und B jeweils die unter und obere Schranke definiert. Soll ich jetzt die obere Schranke von A minus die untere Schranke von B definieren ? Aber wie soll ich dann weiter machen ?

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Nein, schau mal ein Element aus deiner Menge ist a-b. Jetzt hast du 4 Fälle. 1 Fall a und b sind größer gleich 0, dann gilt a-b<=a offensichtlicher Weise, aber weil A eine obere Schranke besitzt und a aus A stammt, hast du dann für diesen Fall eine obere Schranke gefunden, nämlich die von A.

Genauso kannst du a-b nach unten abschätzen: a-b>= - b aber wir haben für alle b aus B eine untere Schranke durch die untere Schranke von B geben also damit auch von a-b. Damit hättest du den ersten Fall abgehakt.

Versuchs mal bei den anderen Fällen :)

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Vielen Dank :)

Das Versuche ich mal.

Die Fälle sind ja dann( a,b ≥ 0), (a,b≤0), (a≥0, b≤0) und ( a≤0, b≥0) oder ? :)

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Genau :).....

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Genau :

Es wird dir auffallen, dass auch du mal deine Schranke von A + die Schranke von B wählen musst :), dann ist aber klar, dass dann du die größte obere Schranke wählen musst, dass wird dann auch A+B sein, sonst wäre ja wenn dh wie bei Fall 1 sagst, A ist eine Schranke für den Fall 1aber dann auch für alle anderen Fälle also nehme ich diese Schranke falsch. Sondern wenn du alle Fälle mal betrachtet hast, dann schaust du welche ist denn die Schranke, die du von diesen Fällen wählen musst, damit alle Elemente drin liegen

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Vielen Dank :)