Unterraum eines linearen Raums

Question

Aufgabe:

Es sei \( U \) der Unterraum des linearen Raumes \( V \), und \( \mathfrak{a}_{1}, \mathfrak{a}_{2} \in V \) seien linear unabhängig. Weiter sei \( \operatorname{lin}\left\{a_{1}, a_{2}\right\} \cap U=\{o\} \). Zeigen Sie: \( a_{1}+U \) und \( a_{2}+U \) sind linear unabhängige Vektoren von \( V / U \).

Problem/Ansatz:

Answer 1

\(\lambda_1(a_1+U)+\lambda_2(a_2+U)=U\Rightarrow \lambda_1a_1+\lambda_2a_2\in U\).

Wegen \(\lambda_1a_1+\lambda_2a_2\in lin\{a_1,a_2\}\) folgt

\(\lambda_1a_1+\lambda_2a_2\in lin\{a_1,a_2\}\cap U=\{0\}\), also

\(\lambda_1a_1+\lambda_2a_2=0\) und wegen der linearen

Unabhängigkeit von \(a_1,a_2\) in \(V\) folgt \(\lambda_1=\lambda_2=0\).