Aufgabe:
(i) Gegeben sei der Unterraum \( U \) des \( \mathbb{R}^{3} \). Beschreiben Sie - informal, d.h. mittels geometrischer Begriffe wie Geraden, Ebenen - den Quotientenraum \( \mathbb{R}^{3} / U \) im Fall, dass \( U \) (i) null-, (ii) ein-, (iii) zwei- oder (iv) dreidimensional ist.
(ii) Gegeben sei der Raum \( { }^{M} \mathbb{R} \) aller Funktionen von \( M \) nach \( \mathbb{R} \). Weiter bestehe der Unterraum \( \mathcal{N} \) aus denjenigen Funktionen \( f: M \rightarrow \mathbb{R} \), für die gilt: \( f(x)=0 \) auBer für endlich viele \( x \in M \). Beschreiben Sie - wiederum in Worten - den Quotientenraum \( { }^{M} \mathbb{R} / \mathcal{N} \).
Hinweis: Überlegen Sie, was es für die Vektoren aus dem \( \mathbb{R}^{3} \) bzw. für Funktionen aus \( { }^{M} \mathbb{R} \) heißt, dass ihre Differenz im jeweils angegebenen Unterraum liegt.
Problem/Ansatz:
