Thema: Lineare Räume; Linearer Teilraum; Skalarprodukt.

Question

Gegeben seien n ∈ℕ , d ∈ ℝ, M := ℝⁿ  sowie Vektor a = (a₁, a₂,... ,a_n)^T = (2, 2, ... , 2)^T∈ M.
Für welche Werte von d∈ ℝ ist die folgende Menge D_d ein linearer Teilraum von M, für welche nicht?
D_d := { x ∈ ℝⁿ | (a | x) = d } .

a und x sind Vektoren

Trotz vorhandener Lösung verstehe ich nicht ganz wie ich auf die Lösung komme.

Die Lösung ist wohl: "Nur wenn d=0 ist, kann D_d (also D₀) überhaupt LTR sein!

Für D ≠ 0 ist D_d kein LTR von M.

Vorhandene Begründung:  D_d ist LTR ⇒ Vektor 0 ∈ D_d ⇒ (a|0) = d ⇒ d=0

Meine Fragen sind:

Wie kommt man überhaupt auf die 0 ?

Also warum wird als erstes die Null eingesetzt?

Mir ist klar, dass das Skalarprodukt von Vektor a und Vektor x 2*x1 + 2*x2 + .... 2*xn ist, aber es gibt doch noch viele andere Zahlen als die 0 mit der ich die Gleichung erfüllen könnte??

Über Erläuterungen würde ich mich freuen, danke!

Answer 1

> aber es gibt doch noch viele andere Zahlen als die 0 mit der ich die Gleichung erfüllen könnte

Dann nenne mal eine andere Zahl d, die die Gleichung (a|0) = d erfüllt.

> Wie kommt man überhaupt auf die 0

Es gibt einen einzigen Vektor, von dem man weiß, dass er in jedem linearen Teilraum entalten ist. Den schaut man sich natürlich zuerst an.