Ist das ein Teilraum von ℝ^n? V2:={v∈ℝn: ⟨v , w⟩ = 0}

Question

Ich habe keinen Plan, wie ich hier anfange..

Sei w∈ℝⁿ. Ich soll zeigen, dass V₂:={v∈ℝⁿ: ⟨v , w⟩ = 0} ein Teilraum von ℝⁿ ist.

Aber das einzige, was mir das von vornerein zeigt, ist dass die Vektoren orthogonal zueinander stehen oder?

An welchen Eigenschaften kann ich so etwas überprüfen?

Danke

Answer 1

Sei w∈ℝⁿ. Ich soll zeigen, dass V₂:={v∈ℝⁿ: ⟨v , w⟩ = 0} ein Teilraum von ℝⁿ ist.

Aber das einzige, was mir das von vornerein zeigt, ist dass die Vektoren orthogonal zueinander stehen oder?

An welchen Eingenschaften kann ich so etwas überprüfen?

Um "Teilraum" zu prüfen, musst du nur zwei Eigenschaften testen:

1. wenn v1 und v2 aus V₂ dann auch deren Summe und

2.   wenn v aus V₂ und x aus IR dann x*v aus V₂.

Zu 1:   v1 und v2 aus V₂   heißt

             ⟨v1 , w⟩ = 0   und   ⟨v2 , w⟩ = 0    also

                      ⟨v1 , w⟩ +  ⟨v2 , w⟩ = 0  + 0  = 0

dann aber (wegen Bilinearität von < ..> )

                       ⟨v1+v2  , w⟩ = 0    also

                           v1 +v2 aus V₂  .

zu 2:     v aus V₂   heißt               ⟨v , w⟩ = 0

                 also auch   x *    ⟨v , w⟩ = 0 für jedes x aus IR

dann aber (wegen Bilinearität von < ..> )        ⟨x*v , w⟩ = 0

also   x*v aus V₂  .             q.e.d.