Ist M1 = ( x,y,z) I -x = 2z ) ein Teilraum des ℝ^3?

Question

Ist folgende Menge ein Teilraum des ℝ^3 ? Begründen Sie Ihre Antwort.

M1 = ( x,y,z) I -x = 2z )

Wir haben folgende Bedingungen gelernt:

I.  Die Menge ist nicht leer
II. M ist abgeschlossen bezüglich der Addition
III. M ist abgeschlossen bezüglich der Multiplikation

Hier meine Rechnung:

I. Die Menge ist nicht leer
Für Nullvektor gilt: 0= 2*0 und damit liegt der Nullvektor in M1. Damit ist M1 nicht leer.

II. Seien Vektoren u= (ux,uy) und v=(vx,vy) mit u und v ∈M1 dann gilt:

M1 = ( x,y,z) I -x = 2z )
I. u:= -ux=2uz
II. v= (-vx=2vz)

zu zeigen:
-(ux+vx)=2(uz+vz)
2uz  + 2vz = 2(uz + vz) = (nach I & II ) = - ux - vx
M1 ist ist abegschlossen bezüglich der Adddition.

III. Sei v= (vx,vz), v ∈M1 und λ (lambda) ∈ℝ dann gilt:

λ * v = (λ * vx, λ*vz)

-λ*vx = 2 (λ * vz) = 2*λ*vz

M1 ist abgeschlossen bezüglich der Multipliaktion, damit ist M1 ein Teilraum des ℝ^3.

Dankeschön fürs Korrigieren:)

Comments

>  Seien Vektoren u= (ux,uy) und v=(vx,vy) mit u und v ∈ M1 dann gilt: 

> Sei v= (vx,vz), v ∈ M1 

Die Vektoren aus M₁ haben doch drei  Komponenten.

Answer 1

Hallo Samira,

wenn  u,v ∈ M₁ gilt, dann haben die Vektoren die Form  ( x | y | - x /2)  → Form(M₁)

u = (u_x | u_y | - u_x / 2 )    bzw.  v = (v_x | v_y | - v_x / 2 ) 

Jetzt muss man zeigen, dass  u+v  und  λ • u  die Form(M₁) haben:

u + v = ( u_x+ v_x |  u_y + v_y | - u_x / 2 + - v_x / 2 ) 

=  ( u_x+ v_x |  u_y + v_y | - (u_x+v_x) / 2 )  → Form(M₁)

→  M₁ ist bzgl. + abgeschlossen

λ • u = (λ • u_x | λ  • u_y | λ • (- u_x / 2) ) =  (λ • u_x | λ • u_y | - (λ •  u_x) / 2) )   → Form(M₁)

→  M₁ ist bzgl.  •  abgeschlossen

Gruß Wolfgang

Comments

ABER : warum ist z= -x/2 ja cih weiss wie dudrauf kommmst aber im Untersicht hatten wir folgendes bsp.

2y= x

I. u: 2uy= ux

II. v : 2vy = vx

2 (uy + vy) = ux+vx

2(uy+vy) = 2uy + vy = ux + vx

--> abgeschlossen bezüglich addition

und hier haben wir y nicht umegwandelt

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> ABER : warum ist z= -x/2 

In der Aufgabe steht doch  M1 = { ( x,y,z) I -x = 2z }

-x = 2z  ⇔  z = -x/2 ,   

alle Elemente von M₁ haben dehalb die Form ( x | y | -x/2)

also u_z = - u_x / 2  und   v_z = - v_x / 2

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JA ich habe verstandwen wie man drauf kommt aber wie soll man es umormen im untericht haben wir das auch nicht gemacht

Answer 2

II. Seien Vektoren u= (ux,uy) und v=(vx,vy) mit u und v ∈M1 dann gilt:

Bedenke R^3 .

Comments

Aber die gleichung hat ja nur x und z ? wiea rbeitet man mit dem y?

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Das benutzt du einfach, es kommt in der Gl. nicht vor:

u= (ux,uy,uz) und v=(vx,vy,vz ) mit u und v ∈M1 dann gillt

wegen -x = 2z 

u= (ux,uy, -ux/2) und v=(vx,vy, -vx/2 )

und damit die Abgeschlossenheit prüfen.