Ist M3= {( x,y,z) I x^2 = y^2} ein Teilraum des ℝ^3?

Question

Heyy,

Ist M3= ( x,y,z) I x^2 = y^2) ein Teilraum des ℝ^3?

Die gelichung ähnelt  ax + by + cz = 0 bloss dass man kein z hat.

I. Die Menge ist nicht leer
0^2 = 0^2 Was sagt mir das eigentlich?

II. M ist abgeschlossen bezüglich der Addition


III. M ist abgeschlossen bezüglich der Multiplikation


ich komme echt nicht weiter, irgendwie sind die aufgaben schwierig zu lösen.

Answer 1

eine Gleichung mit x² ähnelt keineswegs einer Gleichung, in der nur x vorkommt.

Gegenbeispiel:

u = (2|-2|0)  und v = (1 | 1| 0) ∈  M₃ 

u + v = (3| -1| 3)  erfüllt die Bedingung x² = y² nicht

→ M₃ ist bzgl. der Addition nicht abgeschlossen.

und schon wieder grüßt Wolfgang

Answer 2

ax+by+cz=0

x^2-y^2=0

Meines Erachtens sind die Gleichungen sich nicht ähnlich, weil in der zweiten Gleichung quadratische Terme auftreten.

Was sagt mir dass die Menge nicht leer ist?

Wenn die Menge leer wäre, gäbe es nichts zu untersuchen und das wäre sehr langweilig.

Du musst daher mindestens 1 Element finden, dass drin ist. Hier z.B der Nullvektor (x=y=0)

M ist abgeschlossen bzgl. der Multiplikation. Das zu zeigen schäffst du

M ist aber nicht abgeschlossen bzgl. Addition, wähle

a=(1,-1,0) und b=(1,1,0)

a+b erfüllt die Gleichung  nicht, obwohl a und b die Gleichung erfüllen.

Answer 3

" Ist M3= ( x,y,z) I x² = y²) ein Teilraum des ℝ³? "

"Die gelichung ähnelt  ax + by + cz = 0 bloss dass man kein z hat. " 

D.h. einfach c=0. Das ist nicht verboten. 

Aber: Hier sind Quadrate dabei. Das ist verdächtig. 

I. Die Menge ist nicht leer 
0² = 0² Was sagt mir das eigentlich? 

D.h. der Punkt (0|0|7) ist in M. 

Interessanter sind aber die Vektoren u= (1|-1|6) und v=(1|1|9) .

II. M ist abgeschlossen bezüglich der Addition 

u + v = (2 | 0| 13)  mit 2^2 ≠ 0^2 . Also nicht in M. 

==> fertig. Kein Unterraum mit den verlangten Eigenschaften. 

III. muss gar nicht mehr geprüft werden.

( III. M ist abgeschlossen bezüglich der Multiplikation mit einem Skalar (?) oder wie willst du Vektoren miteinander multiplizieren, so dass wieder  Vektoren rauskommen? Vektorprodukt? )