Question

Ist M = ( p ∈ ℝ _{<= 2(x)} I p' (x) = 1 ) ein Teilraum des ℝ _{<= 2(x)} ?

Da M eine Teilmenge des ℝ_{<= 2(x)} ist werden die Teilraumaxiome überprüft.

I. Das Nullpolynom  p: x--> 0 dessen Ableitung ist 1 und damit ist M nicht leer.

II. Seien p1 und p2 ∈ M dann gilt für sie die Mengenvorschrift:

p1 ' (x) = 1 p2'(x) = 1 und damit (p1 + p2 )' = p1 ' + p2 ' = 1+1 =2

Geht das?

III. Sei p∈M und λ ∈ℝ dann gilt für p :

p' (x) = 1 somit ( λ * p(x) ) ' = λ * p'(x) = λ * 1= λ

M ist abgeschlossen bezüglich der Multiplikation

Danke:)

Comments

Die Ableitung des Nullpolynoms ist nicht 1.

Answer 1

I. Das Nullpolynom  p: x--> 0 dessen Ableitung ist 1 und damit ist M nicht leer.

Das stimmt nicht. Aber die Abl. des Polynoms x ist 1 und sein grad
ist ≤ 2, also ist M nicht leer.

II. Seien p1 und p2 ∈ M dann gilt für sie die Mengenvorschrift:

p1 ' (x) = 1 p2'(x) = 1 und damit (p1 + p2 )' = p1 ' + p2 ' = 1+1 =2

Geht das? NEIN, du hast doch gerade gezeigt, dass dann  p ' (x) = 2 ist und
nicht 1.

entsprechend auch nicht abg. unter Multiplik. mit λ.

Comments

Warum ist sie nicht abgeschlossen bezüglich der addition? 1+1 ergibt ja 2.

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Samira: Eine Menge M ist abgeschlossen bezüglich der Addition, wenn die Summe von 2 Elementen aus M wieder in M liegt.

Bedingung dafür, dass ein Polynom in M liegt, ist p' (x) = 1.

Nun hast du gezeigt (p1 + p2)'(x) = 2 und nicht =1. Daher ist p1 + p2 nicht in M und M ist nicht abgeschlossen bezüglich der Addition. 

EDIT: Weisst du, was  p ∈ ℝ _{<= 2(x)}  bedeutet? Kannst du das in Worten formulieren?