M Teilraum des ℝ^2,2, Basis von M, Dimension von M

Question

Ich benötige hilfe beim lösen folgender aufgabe

Sei M= ( ( a      b

                c       d)   ∈ℝ^2,2 I a+ d = 0 )

a) Zeigen Sie dass M ein Teilraum des ℝ^2,2 ist

dafür müssen 3 Bedingungen erfüllt werden

1. die menge ist nicht leer

2. abgeschlossen bezüglich der addition

3. abgeschlossen bezüglich der multiplikation

ich weiss nicht wie ich dass zeigen soll weil ich ja hier eine matrix habe und ich es mit einem vektor hatte

b) Zeigen Sie dass B= ( 1   0                (0       1             ( 0     1

                                            1    -1 ) ,         0        0),            1         0) eine Bais von M ist.

c) Bestimmen Sie die Dimension von M.

dankeschön

Answer 1

Hallo Samira,

a)

genau alle Matrizen aus M haben die Form

⎡ u    v ⎤       

⎣ w  -u ⎦

⎡ 0  0 ⎤        hat   diese Form, gehört also zu M  →  M ist nicht leer

⎣ 0  0 ⎦

 r  *  ⎡ u    v ⎤     =     ⎡ r·u    r·v  ⎤

        ⎣ w  -u ⎦            ⎣ r·w  - r·u ⎦

hat auch diese Form   →    M  ist bzgl.  *  abgeschlossen

⎡ a   b ⎤    +    ⎡ x   y ⎤     =    ⎡ x + a   y + b ⎤   =     ⎡ x + a     y + b ⎤

 ⎣ c  -a ⎦         ⎣ z  -x ⎦           ⎣ z + c  -x - a ⎦          ⎣ z + c  - (x + a ⎦

hat ebenfalls diese Form   →  M  ist bzgl.  +  abgeschlossen

Also ist M Teilraum von ℝ^2,2 

b)

r •   \(\begin{pmatrix} 1&0\\ 1&-1\end{pmatrix}\) + s • \(\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) + t • \(\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0\end{pmatrix}\)  = \(\begin{pmatrix} r&s+t\\ r+t&-r\end{pmatrix}\)

Da s+t  und r+t  für  r,s,t ∈ ℝ alle reellen Zahlen annehmen, stellt die letzte Matrix ganz M dar.

Die Matrizen der linken Seite sind linear unabhängig  → sie  stellen eine Basis dar.  

c)

Basis hat drei Elemente  →  dim(M) = 3

Gruß Wolfgang

Comments

Danke für deine hilfe, warum darf man sagen das d= -u ist?

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in der Definition von  M steht  a+d = 0  →  d = -a.  Bei mir:   u entspricht a

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Dankeschön, zu bmuss ich einzeln noch die linearunabhängigkeit zeigen?

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Wenn du in der letzten Matrixgleichung die rechte Matrix  gleich der Nullmatrix setzt,

→  r = 0  ,  r+t = 0 also t = 0   →  s+t = 0 also s = 0

Das ist genau die Definition der linearen Abhängigkeit der Matrizen auf der linken Seite

Answer 2

a)

> weil ich ja hier eine matrix habe und ich es mit einem vektor hatte.

Die Menge aller reellen 2×2-Matrizen bilden einen Vektorraum.

b)

Zeige dass B linear unabhängig ist und dass jeder Vektor aus M als Linearkombination von Vektoren aus B geschrieben werden kann.

c) Die  Dimension von M ist 3, weil |B| = 3 ist und B Basis von M ist.

Comments

danke,

zu b

muss ich dann jeden vektor miteinander addiere und gleich null setzten also

vektor v:  (1    0

                 1      -1)

w= ( 0   1

        0    0)

r: (0      1

    1      0 )

dann.

α₁v+α₂ w = 0

α₁v + α₂r = 0

α₁w +α₂r = 0

 dann sind sie doch linearunabhängig

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> α₁v+α₂ w = 0
> α₁v + α₂r = 0
> α₁w +α₂r = 0
> dann sind sie doch linearunabhängig

Das reicht nicht, z.B. w = (1 0), v=(0 1), r=(1 1).

Dann ist α₁v+α₂w = 0 genau dann wenn α₁=α₂= 0, und α₁v+α₂r = 0 genau dann wenn α₁=α₂= 0 und α₁w +α₂r = 0 genau dann wenn α₁=α₂= 0, aber α₁w +α₂v + α₃r = 0 wenn α₁=α₂=1 und α₃=-1. Lineare Unabhängigkeit ist eine Eigenschaft einer Menge von Vektoren, nicht eines Paars von Vektoren.