Eine beschränkte Funktion ist genau dann Riemann-integrierbar wenn die Menge der Punkte in denen sie unstetig ist eine Lebesgue-Nullmenge ist.
Dabei heißt eine Teilmenge \( M\subseteq \mathbb{R} \) Lebesgue-Nullmenge wenn zu jedem \( \varepsilon >0 \) abzählbar viele Intervalle \( (I_i)_{i\in\mathbb{N}} \) existieren, s.d. \( M\subseteq \bigcup_{i\in\mathbb{N}}I_i \) und \( \sum_{i=0}^{\infty}\vert I_i\vert<\varepsilon \) ist.
Z.B. ist jede abzählbare Menge eine Nullmenge, denn sei \( M=\{t_i \ : \ i\in\mathbb{N}\} \) und \( I_i = [t_i-\frac\varepsilon {2^i},t_i+\frac\varepsilon {2^i}] \). Dann ist \( M\subseteq \bigcup_{i\in\mathbb{N}}I_i \) und \( \sum_{i\in \mathbb{N}}\vert I_i\vert= \sum_{i=0}^{\infty}\frac{\varepsilon }{2^{i-1}}=4\varepsilon \).
Deine Funktion ist beschränkt und hat nur abzählbar viele Unstetigkeitsstellen. D.h. sie ist Riemann-integrierbar.
