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Aufgabe:Aufgabe Integrierbarkeit prüfen
Betrachten Sie die stückweise definierte Funktion f : [0,1]R f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} mit
f(x)={sin(1x)x0,0x=0. f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \sin \left(\frac{1}{x}\right) & x \neq 0, \\ 0 & x=0 . \end{array}\right.

Zeigen Sie, dass f f auf [0,1] [0,1] nicht stetig aber Riemann integrierbar ist.
Hinweis: Für alle ε>0 \varepsilon>0 ist f f auf [ε/4,1] [\varepsilon / 4,1] stetig, also dort auch Riemann integrierbar. Wie groß kann die Differenz von Obersumme und Untersumme auf [0,ε/4] [0, \varepsilon / 4] höchstens sein?


Problem/Ansatz: kann jemand hier helfen?

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Hallo

da steht doch schon ein dicker Hinweis, praktisch die Lösung. Was hast du damit gemacht?

lul

1 Antwort

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Du musst ja nur zeigen, dass für jedes ε>0 undfür jede ausgezeichnete Zerlegungsfolge von

 [0,ε/4] [0, \varepsilon / 4] ein N existiert, so dass für alle n>N die Differenz von Obersumme On

und Untersumme Un kleiner als ε ist.

Auf [0,ε/4] [0, \varepsilon / 4] ist das absolute Max. von f gleich 1 und das absolute Min gleich -1.

==>   On1ϵ4 O_n \le 1 \cdot \frac{\epsilon}{4}   und    Un1ϵ4 U_n \ge -1 \cdot \frac{\epsilon}{4}

Die Differenz also kleiner oder gleich   ϵ2<ϵ \frac{\epsilon}{2} \lt \epsilon .

Da f also dann auf beiden Intervallen   [0,ε/4] [0, \varepsilon / 4] und   [ε/4,1] [ \varepsilon / 4 , 1]

Riemann integrierbar ist, ist es das auch auf [0 , 1 ].

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