Zeigen Sie, dass f auf [0,1] nicht stetig aber Riemann integrierbar ist.

Question

Aufgabe:Aufgabe Integrierbarkeit prüfen
Betrachten Sie die stückweise definierte Funktion \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \sin \left(\frac{1}{x}\right) & x \neq 0, \\ 0 & x=0 . \end{array}\right. \)

Zeigen Sie, dass \( f \) auf \( [0,1] \) nicht stetig aber Riemann integrierbar ist.
Hinweis: Für alle \( \varepsilon>0 \) ist \( f \) auf \( [\varepsilon / 4,1] \) stetig, also dort auch Riemann integrierbar. Wie groß kann die Differenz von Obersumme und Untersumme auf \( [0, \varepsilon / 4] \) höchstens sein?

Problem/Ansatz: kann jemand hier helfen?

Comments

Hallo

da steht doch schon ein dicker Hinweis, praktisch die Lösung. Was hast du damit gemacht?

lul

Answer 1

Du musst ja nur zeigen, dass für jedes ε>0 undfür jede ausgezeichnete Zerlegungsfolge von

 \( [0, \varepsilon / 4] \) ein N existiert, so dass für alle n>N die Differenz von Obersumme O_n

und Untersumme U_n kleiner als ε ist.

Auf \( [0, \varepsilon / 4] \) ist das absolute Max. von f gleich 1 und das absolute Min gleich -1.

==>   \(  O_n \le 1 \cdot \frac{\epsilon}{4} \)  und    \(  U_n \ge -1 \cdot \frac{\epsilon}{4} \)

Die Differenz also kleiner oder gleich   \( \frac{\epsilon}{2} \lt \epsilon \).

Da f also dann auf beiden Intervallen   \( [0, \varepsilon / 4] \) und   \( [ \varepsilon / 4 , 1] \)

Riemann integrierbar ist, ist es das auch auf [0 , 1 ].