Wie führt man eine vollständige Induktion durch?

Question

Aufgabe:

f: (O, +  ∞  ) → ℝ mit f(x) = \( \frac{1}{x^{2}} \)

Problem/Ansatz:

Wie beweist man mit vollständiger Induktion die Formel für die n-te Ableitung ( n ∈ ℕ₀ ) der funktion f und gibt anschließend \( f^{n} \) (1) an?

Answer 1

Wir haben$$f^{(0)}(x)=f(x)=x^{-2}, \; f^{(1)}(x)=-2x^{-3}, \; f^{(2)}(x)=(-1)^2\cdot 3\cdot 2\cdot x^{-4}, \cdots$$

Hieraus vermutet man$$f^{(n)}(x)=(-1)^n(n+1)!\cdot x^{-(n+2)}$$Induktionsanfang \(n=0\) ist OK.

Schluss von \(n\) auf \(n+1\):$$f^{(n+1)}(x)=(f^{(n)}(x))'=(-1)^n(n+1)!(x^{-(n+2}))'=\\=(-1)^{n+1}(n+1)!(n+2)x^{-(n+2)-1}=(-1)^{n+1}\frac{(n+2)!}{x^{n+3}},\quad \text{ q.e.d.} $$

Answer 2

Zunächst muss man ein Muster unter Ableitungen f ', f'', f ''' erkennen und dann die Formel

f⁽ⁿ⁾=\( \frac{(-1)^n·(n+1)!}{x^{(n+1)}} \) beweisen. Hierzu beweist man mit einer Ableitungsregel, dass f⁽ⁿ⁺¹⁾=\( \frac{(-1)^{n+1}·(n+2)!}{x^{(n+2}} \) auf f⁽ⁿ⁾=\( \frac{(-1)^n·(n+1)!}{x^{(n+1)}} \) folgt.