Vollständige Induktion: Darf man hier auch durch Ausmultiplizieren beweisen?

Question

Ich habe eine Frage bezüglich der vollständigen Induktion. Bin gerade am Lernen für eine Matheklausur, in der auch Induktionsaufgaben gestellt wird.

Nun meine Frage:

Kann ich meine Rechte Seite, also die Annahme für A(n+1) einfach ausmultiplizieren und dann auf der linken Seite schauen, wie ich auf die rechte Seite komme, oder darf man das nicht?

Oder darf ich die rechte Seite, also meine Annahme mit (n+1)*(n+2)/2 nicht anfassen?

 

 

Answer 1

Kann ich meine Rechte Seite, also die Annahme für A(n+1) einfach ausmultiplizieren und dann auf der linken Seite schauen, wie ich auf die rechte Seite komme, oder darf man das nicht?

Oder darf ich die rechte Seite, also meine Annahme mit (n+1)*(n+2)/2 nicht anfassen?

 

Eigentlich passiert in diesem Fall nichts Schlimmes. sobald man aber Nullen rauskürzen könnte, wird's gefährlich.

Schöner ist der Beweis immer, wenn du schrittweise von der linken zur rechten Formel kommst. Hier könntest du zB in der untersten Zeile den Zähler faktorisieren. Da testest du einfach, ob das Erwartete auch rauskommt.

Comments

Aber vom Prinzip her ist das doch auch richtig, oder? Ist für mich irgendwie einfacher einfach alles auszumultiplizieren, als zu schauen, wie man auf die rechte Seite kommt.

 

Danke für die schnelle Antwort!

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Richtig ist das hier auch.

Mach einfach auf der Zeile, die gelb beginnt ein Fragezeichen über das '=' . Wenn die rechte Spalte ab dort mit Gleichheitszeichen gegen rechts in einer Zeile Platz hat, sieht der Beweis besser aus.

Die linke Seite rechnest du ja in der linken Spalte weiter. Vielleicht besser das Gleichheitszeichen am linken Blattrand.

Die beiden Gleichheitszeichen in der Mitte sind ja bis am Schluss fraglich (kannst du eigentlich weglassen)

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Das hätte man doch auch mit dem Horner-Schema beweisen können, oder?

Also rechte Seite, auf die gekommen werden muss:

((n+1)*(n+2)) / 2

linke Seite:

(n*(n+1)) / 2  + (n+1)

-> (n^2+3n+2) / 2

dann mit Horner Schema, Nullstelle von rechter Seite, z.B. -1

       1  3  2

-1    |  -1 -2

       1  2  0

Also auch ((n+2) * (n+1)) /2