Dreieckszahlen,Tetraederzahlen im Pascalschen Dreieck

Question

Zeige, dass die Dreieckszahlen D_n im Pascalschen Dreieck zu finden sind , indem man sie als Binomialkoeffizienten darstellst.

Zeige das auch die Tetraederzahlen im Pascalschen Dreieck zu finden sind und leite daraus eine Berechnungsformel für T_n ab.

Beweise nun die Gleichung :

\( Q_{n}=(n+1) D_{n}-T_{n} \)

Answer 1

Dn = ((n+1) über 2) = n·(n + 1)/2

Tn = ((n+2) über 3) = n·(n + 1)·(n + 2)/6


(n+1) * Dn - Tn = (n+1) * n·(n + 1)/2 - n·(n + 1)·(n + 2)/6 = n·(n + 1)·(2·n + 1)/6

Und das ist genau Qn bzw. Die Summe der ersten n Quadratzahlen.