Herleitung Pascalsches Dreieck als Hilfe zur Herleitung der Eulerschen Zahl?

Question

Ich bin gerade dabei, mich mit der Eulerschen Zahl zu befassen und möchte sie über Bernoullis Ansatz des Zinseszinses bei p=100 %, mehrfache Ausschüttung pro Jahr herleiten.

Wie dem auch sei, ich möchte wie folgt ansetzen:

Jährlich: K = K_{0} · (100% + 100%/1)

Halbjährlich: K = K_{0} · (100% + 100%/2 + 100%/2+100%/2·1/2) = K_(0) · (100% + 100%/2)^2

Dritteljährlich: K = KK_{0} · (100% + 100%/3 + 100%/3+100%/3·1/3 + 100%/3+100%/3·1/3+100%/3·1/3+100%/3·1/3·1/3) = K_{0} · (100% + 100%/3)^3

...

K = K_{0} · (100% + 100%/n)^n

e = lim_(n→∞) 1 · (100% + 100%/n)^n

Es geht mir nun darum zu zeigen, dass diese Verallgemeinerung gilt. Also der Schritt der Auslassung oben mit "..." zu n.

Doch wie kann ich das Pascalsche Dreieck allgemein bestimmen bzw. herleiten, ohne es auszurechnen? Wie kann ich zeigen, dass wirklich genau das dahinter steckt und man damit schließlich genau auf die Formel K = K_(0) · (100% + 100%/n)^n kommt?

Laut Wikipedia gilt ja für das Pascalsche Dreieck:

$$ \left( \begin{array} { l } { n + 1 } \\ { k + 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c } { n } \\ { k + 1 } \end{array} \right) $$

Aber Binomialkoeffizienten hat man in der Klassenstufe, die die Eulersche Zahl einführt, glaube ich, noch nicht.

Hat jemand eine andere Idee?

Comments

Das du den Grenzwert bilden willst ist doch sehr gut

lim (n --> ∞) (1 + 1/n)^n

Muss das denn unbedingt über das Pascalsche Dreieck sein?

Was spricht gegen Umformung

lim (n --> ∞) EXP(LN((1 + 1/n)^n))

Und jetzt erstmal nur der Grenzwert des Exponenten

lim (n --> ∞) LN((1 + 1/n)^n)

lim (n --> ∞) n * LN(1 + 1/n)

lim (n --> ∞) LN(1 + 1/n) / (1/n)

L'Hospital

lim (n --> ∞) - 1/(n^2 + n) / (- 1/n^2)

lim (n --> ∞) n / (n + 1)

lim (n --> ∞) 1 / (1 + 1/n) = 1

Jetzt kann man den Grenzwert bestimmen

lim (n --> ∞) EXP(LN((1 + 1/n)^n)) = EXP(1) = e

Zugegeben etwas mühselig. Aber mit dem Pascalschen Dreieck erscheint mir das noch aufwendiger.

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...

K = K₀ · (100% + 100%/n)ⁿ

Es geht mir nun darum zu zeigen, dass diese Verallgemeinerung gilt. Also der Schritt der Auslassung oben mit "..." zu n.

Das ist doch voellig evident: In jedem Verzinsungsschritt wird das gerade vorhandene Kapital mit \(1+1/n\) multipliziert. Am Anfang hat man \(K_0\). Nach dem ersten Verzinsungsschritt \(K_1=K_0(1+1/n)\). Nach dem zweiten \(K_2=K_1(1+1/n)=K_0(1+1/n)^2\), etc., und nach dem \(n\)-ten und letzten \(K=K_n=K_{n-1}(1+1/n)=\ldots=K_0(1+1/n)^n\).

(Mir ist nebenbei unklar, was Du da oben gerechnet hast.)

Answer 1

Kai hat das alles zu Fuß aufaddiert. Das braucht man aber nicht machen. Nehmen wir mal an jemand legt 1000 Euro an und man hat eine Vierteljährliche Verzinsung. Das heißt wenn man pro Jahr 100% bekommt bekommt man für ein Vierteljahr 25%

Nach einem Vierteljahr hat man also 1000 Euro und 250 Euro = 1250 Euro.

Die 1250 Euro legt man ein weiteres Vierteljahr an und hat am ende dann wieder 1250 und 25% von 1250 also insgesamt 1250 * 1.25 = 1562.50

Die 1562.50 Euro legt man erneut wieder für ein Vierteljahr an und hat am Ende 1562.50 * 1.25 = 1953.125.

Nach 4 Quartalen hat man also

1000 * 1.25^4 bzw. 1000 * (1 + 1/4)^4

Zu Fuß diese Potenzen aufschreiben ist nicht nötig. Die Herleitung oben sollte klar sein.

Comments

Vielen Dank für die Hilfe. Du hast Recht, dein Beispiel macht es sofort deutlich. Mein Umweg über die Addition ist zu viel des Guten.

Sehr schön!