Zeigen Sie, dass (U,+) eine Untergruppe von (ℤ,+) ist

Question

Sei U = 10 ℤ = {10n | n∈ℤ}

Zeigen Sie, dass (U,+) eine Untergruppe von (ℤ,+) ist

Answer 1

zeige für alle \(a,b \in U\) gilt \(a-b \in U\).

Gruß

Comments

Verstehe ich nicht. Heißt dass man kann für a und b eigene ausgesuchte Werte zuweisen? 

Da ja U demnach die ganze Menge ausmacht und sie 10 groß ist, kann ich dann U = {8, 2} zuweisen?

Jetzt könnte ich potenziell Assoziativität, neutrales Element und inverses Element nachweisen, das geht dann glaube ich so:

Assoziativität:

(8+2)+0 = 8+(2+0)

10 = 10

stimmt

Neutrales Element:

8 + 0 = 8

2 + 0 = 2

stimmt

Inverses Element:

8+(-8) = 0

2+(-2) = 0

stimmt

Damit wäre dann so wie ich das verstanden habe nachgewiesen, dass es eine Gruppe ist. Aber ob es dann eine Untergruppe von (ℤ,+) ist, kann ich daraus nicht feststellen.

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Nein man zeigt es allgemein für zwei Elemente von U. Kennst du überhaupt die Definition einer Untergruppe? Vergleiche mal hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Untergruppe#.C3.84quivalente_Definitionen

Da ist auch direkt der Ansatz zum Nachweis vorgegeben.

Ich vermute mal, dass dir gar nicht klar ist was die Gruppe U überhaupt ist. Sie ist nicht "10 groß", was auch immer das heißen soll. U ist eine Teilmenge der ganzen Zahlen und zwar die Gruppe aller Vielfachen der Zahl 10 (also 0, 10, 20, usw. aber auch -10, -20, usw.)

Jedes Element a von U hat die Form a=10n wobei n eine ganze Zahl ist.

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Okay, also eine Untergruppe bildet sich aus der Teilmenge U, wenn zu 2 beliebigen Elementen in U auch deren Verknüpfung in U ist und zu jedem Element in U auch dessen inverses in U ist.

a,b∈U⇒a°b∈U 

a∈U⇒a^-1∈U

Proberechnung:

Jetzt nehmen wir mal an a wäre 10 und n für b wäre 2 und somit wäre b 20.

Dann hätten wir 10,20∈U

10,20∈U⇒10°20∈U

10∈U⇒10^-1∈U

Wäre damit die Untergruppe nachgewiesen? 

Ich bin irgendwie immer ganz schlecht bei diesen Aufgaben, bei denen man etwas zeigen oder beweisen muss :(

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Nein, das sind nur Beispiele du musst allgemein argumentieren.

Zum Beispiel: a = 10n und b = 10m wobei n,m ganze Zahlen sind.

Außerdem hast du hier:

10,20∈U⇒10°20∈U

10∈U⇒10^-1∈U

nix argumentativ gezeigt. Was ist denn \(10^{-1}\) bzw. \(10\circ 20\) überhaupt? Und warum sind das ebenfalls Elemente von U?

Wenn du das beantworten kannst sollte ein Beweis mit den allgemeinen Elementen kein Problem mehr sein. Jedenfalls sollte der Grundgedanke gefestigt sein.

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10,20∈U⇒10°20∈U bedeutet, dass wenn 10 und 20 Elemente von U sind, dann ist auch die Verkettung von 10 und 20 ein Element in U.

10∈U⇒10^-1∈U heißt, dass wenn 10 ein Element in U ist, dann ist auch das inverse bzw. -10 ein Element in U.

Das sind Elemente in U, weil sie ein Vielfaches von 10 sind.

Wüsste aber dennoch nicht, wie ich den Beweis zeigen soll.

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Ja und die Verkettung wäre doch einfach nur die Summe........... Ich wollte auch nicht wissen, was diese Folgerungen bedeuten sondern warum sie gelten, aber das scheint ja untergegangen zu sein.

Naja wie auch immer, will das hier nicht ewig in die Länge ziehen.

Sei \(a,b \in U\), d.h. \(\exists n,m \in \mathbb{Z}\) mit \(a=10n\) und \(b=10m\).

Dann ist: \(a+b = 10n+10m =10(n+m) \Leftrightarrow a+b \in U\), da \(n+m \in \mathbb{Z}\).

und \(-a = -10n = 10(-n) \Leftrightarrow -a \in U\), da \( -n \in \mathbb{Z} \).

PS: Der Ansatz aus meiner Originalantwort ist ein bisschen kürzer.

Answer 2

jedes Element von \( U \) lässt sich als \( u_n = 10n \) darstellen.

Es ist \( u_n + u_m = u_{n+m} \). Das Inverse eines \( u_n \) ist \( u_{-n} \). Das neutrale Element der Untergruppe ist \( u_0 \).

Die Gruppe ist übrigens zugleich Untergruppe von \( \mathbb{Z} \) und isomorph zu \( \mathbb{Z} \).

Schöne Grüße

Mister