Seien \( a, b \in \mathbb{Z} \) gegeben. Betrachten Sie die Menge \( H=\{m a+n b: m, n \in \mathbb{Z}\} \). Zeigen Sie, daß \( H \) eine Untergruppe von \( \mathbb{Z} \) ist.
Offenbar geht es um \( (\mathbb{Z},+) \).
Da musst du nur ein Untergruppenkriterium prüfen.
Z.B. (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Untergruppe#%C3%84quivalente_Definitionen)
Zu zwei beliebigen Elementen in {\displaystyle U}U ist auch deren Verknüpfung in {\displaystyle U}U, und mit jedem Element in {\displaystyle U}U auch dessen Inverses.
Also: Zwei beliebige Elemente aus H wären etwa ma+n b und pa+qb
Deren Verknüpfung (ma+n b) + (pa+qb) = (m+p)a + (n+q)b ist auch in H; denn mit
m,p aus Z ist auch m+p aus Z entsprechend auch n,q.
Das Inverse von ma+nb ist -(ma+nb) = (-m)a + (-n)b und mit m,n aus Z
sind auch -m und -n aus Z. q.e.d.