Berechnen Sie für die gegebenen T: V → W , mit Basen \mathcal{B}_{V}, \mathcal{B}_{W} für V bzw W und v ∈ V ,

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 1 (4+4 Punkte). Berechnen Sie für die gegebenen \( T: V \rightarrow W \), mit Basen \( \mathcal{B}_{V}, \mathcal{B}_{W} \) für \( V \) bzw. \( W \) und \( v \in V \),
\( [v]_{\mathcal{B}_{V}}, \quad T(v), \quad[T(v)]_{\mathcal{B}_{W}} \quad \) und \( \quad[T]_{\mathcal{B}_{V}}^{\mathcal{B}_{W}} \).
(i) \( T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3},(x, y) \mapsto(2 x-y, y, x) \)
\( \begin{array}{l} \mathcal{B}_{\mathbb{R}^{2}}=((2,1),(0,1)) \\ \mathcal{B}_{\mathbb{R}^{3}}=((0,2,1),(1,1,0),(0,1,0)) \\ v=(2,3) \end{array} \)
(ii) \( T: M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2 \times 2}(\mathbb{R}),\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{cc}c & d \\ a+b & 2 a\end{array}\right) \).
\( \begin{array}{l} \mathcal{B}_{M_{2 \times 2}(\mathbb{R})}=\left(\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\right) \\ v=\left(\begin{array}{cc} 0 & 3 \\ -2 & 1 \end{array}\right) \end{array} \)

Problem/Ansatz:

Ich stehe maximal auf dem Schlauch und habe nur T(v) berechnen können, indem ich v = (2,3) einfach in T eingesetzt habe, jedoch kriege ich den Rest selbst mit Skript nicht hin.

Ich würde mich sehr über eine Erklärung freuen.

Answer 1

\(\begin{array}{l} \mathcal{B}_{\mathbb{R}^{2}}=((2,1),(0,1)) \\ \mathcal{B}_{\mathbb{R}^{3}}=((0,2,1),(1,1,0),(0,1,0)) \\ v=(2,3) \end{array} \)

Da bedeutet doch \([v]_{\mathcal{B}_{V}}\) einfach nur, dass du v=(2,3) durch die Basis \({\mathcal{B}_{V}}\)

ausdrücken sollst, und die dabei zu verwendenden Faktoren bilden das Paar \([v]_{\mathcal{B}_{V}}\).

Also (2,3)=x(2,1)+y(0,1) ==>  2=2x+0y und 3 = x+y  also x=1 und y=2

und damit \([v]_{\mathcal{B}_{V}} = (1,2) \).

Entsprechend bei \(\quad[T(v)]_{\mathcal{B}_{W}} \) das Ergebnis von T(v) durch die Basis B_w ausdrücken.

Und \( \quad[T]_{\mathcal{B}_{V}}^{\mathcal{B}_{W}} \). ist die Matrix von T bezüglich der

beiden gegebenen Basen.