Basen berechnen mit Koordinaten

Question

Aufgabe:

Basen berechnen.

Problem/Ansatz:

Kann mir da bitte jemand, langsam Schritt für Schritt erklären und wirklich jeden Schritt, was bedeutet z.B. dieser kleine Index (1,1)_b und (3,2)_e

Dann noch: Warum verrechnet er, bei der Aufgabe Nr. 1 a), mit den Koordinaten b, wenn doch nach der Koordinate e gefragt ist?

Wieso ist das der R²? Die Koordinaten e und b haben doch 3 Einträge. Ist das, dann nicht der R³?.

Warum ist bei der Aufgabe 1b), diese Variablen v1* und v2*, aber bei der Aufgabe 1a) z.b nicht.

Ich will das einfach nur verstehen, alles Schritt für Schritt bitte geht auf alle Fragen ein.

Ich checks einfach nicht.

Gegeben ist \( \operatorname{im} \mathbb{R}^{2} \) das kartesische Koordinatensystem \( e=\left(\underline{0}, \underline{e}_{1}, \underline{e}_{2}\right) \) und ein weiteres Koordinatensystem \( b=\left(\underline{0}, \underline{b}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right), \underline{b}_{2}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -2\end{array}\right)\right) \)

a) Geben Sie die Koordinaten des \( \underline{u}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)_{b} \) bzgl. der Basis \( e \) an.

b) Geben Sie die Koordinaten des Vektors \( \underline{v}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right)_{e} \) bzgl. der Basis \( b \) an.

Lösungen.

a) \( 1 \underline{b}_{1}+1 \underline{b}_{2}=1\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right)+1\left(\begin{array}{c}1 \\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0\end{array}\right) \)

b) Aus \( v_{1}^{*} \underline{b}_{1}+v_{2}^{*} \underline{b}_{2}=v_{1}^{*}\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right)+v_{2}^{*}\left(\begin{array}{c}1 \\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right) \), bekommen wir: \( v_{1}^{*}=2, \underline{v}_{2}^{*}=1 \)

Answer 1

Hallo,

warum der Nullvektor bei den Basen mit angegeben ist, weiß ich nicht. Ich vermute, dass damit die dritte Dimension ausgeblendet werden soll.

Mit e ist die kartesische Basis gemeint. Anschaulich die Pfeile von 0 nach 1 auf den Achsen.

Stattdessen kann man auch zwei andere linear unabhängige Vektoren als Basis b nehmen.

Wenn an einem Spaltenvektor ein e steht, sind es die gewohnten Koordinaten. Bei einem kleinen b bedeuten die Zahlen die Faktoren r und s bei der Linearkombination r*b₁+s*b₂.

Zeichne am besten ein zweidimensionales Koordinatensystem, in das du die Basis b einzeichnest. Wenn du b1 und b2 zu einem Parallelogramm vervollständigst, erhältst du als Diagonale den Vektor u. Er liegt auf der x-Achse hat die Länge 2. Also hat er im kartesischen Koordinatensystem die Koordinaten x=2 und y=0.

\( b=\left(\underline{0}, \underline{b}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right), \underline{b}_{2}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -2\end{array}\right)\right) \)

a) Geben Sie die Koordinaten des \( \underline{u}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)_{b} \) bzgl. der Basis \( e \) an.

 \( \underline{u}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)_{b} =\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right)_e+     \left(\begin{array}{l}1 \\ -2\end{array}\right)_e=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0\end{array}\right)_e \)